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Zu jedem Pol exiſtirt nur eine Polare, und umgekehrt zu jeder Polare uur ein Pol. Dieſen Pol conſtruirt man, indem man den zu der Polare ſenkrechten Durchmeſſer zieht und zu den beiden Durchſchnittspunkten deſſelben mit dem Kreis und den Schnitt⸗ punkt mit der Polaren den vierten harmoniſchen Punkt beſtimmt; dieſer iſt der geſuchte Pol. Als beſonders merkwürdige Fälle ſeien noch erwähnt: Der Pol eines Durchmeſſers iſt ein unendlich ferner Punkt; die Polare'des Mittelpunkts eine unendlich entfernte Gerade.

Die in§. 12 bewieſenen harmoniſchen Eigenſchaften des vollſtändigen Vierſeits führen nun zu einer höchſt einfachen mittelſt des Lineals allein ausführbaren Methode, zu einem Punktep in Bezug auf einen gegebenen Kreis M die Polare und die Tangenten an denKreis zu zeichnen.

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N 7 1

Zu dieſem Zwecke ziehe man durch p zwei beliebige Transverſalen, welche den Kreis in 1 und 2, 3 und 4 treffen ſollen, dann ergänze man das vollſtändige Vierſeit durch Conſtruktion der Seiten 13, 14, 23, 24. Auf dieſe Weiſe erhält man außer p noch zwei Diagonalſchnitte des Vierſeits 1, 2, 3, 4, nämlich d und r, deren Verbindungsge⸗ rade P die geſuchte Polare von p iſt.

Zum Beweis betrachte man 13, 24, 23 und 14 als die Seiten eines vollſtändigen Vierſeits, deſſen Diagonalen dann 12, 34 u. p'p“ ſind. p'p“ bilden hier die Durch⸗ ſchnittspunkte der Linie ar mit 12 u. 34; es müſſen alſo nach den harm. Eigenſchaften des vollſtändigen Vierſeits p1p'2 u. P3p“4 harm. Punkte ſein, d. h. p'p“ oder rq muß die Polare von p ſein. Wie man ſieht, iſt dieſe Conſtruktion eine lineare, und aus ihr folgt nun, da die Polare zugleich Berührungsſehne iſt, die lineare Conſtruktion der beiden Tangenten von einem Punkte aus an einen Kreis, indem man den Punkt p mit den Durchſchnittspunkten der Polare mit der Kreisperipherie verbindet.

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