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OA OBsin(ab) alſo Aee 11 AA/OB= JA’'B. OP= 10B. O A’'sin(a* b) „ 04.OBsin(a⸗b) alſo AB= 5 p. Aᷣ‿ᷣ 7 Analog muß AB= Ternan 14b 0A“. OB“ sin(a¹ b) 0 P 3 Aus dieſen vier Werthen von AB, A'Bec. folgen die Proportionen AB:A’B= OA sin(a b): OA sin(a“ b) und AB“: A'B’= O A sin(a b): O Asin(a“ b“). Nach der Vorausſetzung ſind die Punkte AA'BB“’ harmoniſch, alſo iſt auch O Asin(a b): OAsin(a“b)= O Asin(a b“): O Asin(a“b“) oder—=— g

Kehrt man dieſen Beweis um, ſo kommt man zu dem Satz: Vier harmoniſche Strahlen werden von jeder beliebigen Transverſale in vier harmoniſchen Punkten geſchnitten.

Will man zu drei Strahlen die vierte Harmonikale conſtruiren, ſo ziehe man eine Transverſale und ſuche zu ihren drei Schnittpunkten mit den drei gegebenen Strahlen den vierten harmoniſchen Punkt; durch dieſen geht der vierte harmoniſche Strahl. Um zu drei gegebenen Strahlen OA, OA“ u. OB den vierten OB conjugirten harmoniſchen 0OB“ ohne Hilfe des Zirkels zu finden, wähle man auf 0 einen beliebigen Punkt b; ziehe durch dieſen Punkt Strahlen a«bg u.*⁵b„, welche OA u. OA“ resp. in æ u. u. treffen, ſuche dann den Schnittpunkt der Geraden«ν u.* und verbinde dieſen Punkt B' mit O, ſo iſt 0B“ der geſuchte Strahl. Die Erklärung geben die im vorigen Ab⸗ ſchnitt behandelten harmoniſchen Eigenſchaften des vollſtändigen Vierſeits.

Als intereſſante ſpecielle Fälle von vier harmoniſchen Strahlen ergeben ſich von ſelbſt: 1) Die unbegrenzt gedachten Schenkel eines Winkels und ſeine Halbirungslinien, die bekanntlich ſenkrecht auf einander ſtehen.— Ziehe eine Transverſale parallel mit einem winkelhalbirenden Strahl, ſo entſtehen vier harmoniſche Schnittpunkte.— 2) Vier Parallelſtrahlen durch vier harmoniſche Punkte.(Der Punkt O liegt unendlich entfernt.) 3) Drei äquidiſtante Geraden mit einer belkebigen unendlich entfernten Geraden.

und AB=

§. 14. Pol und polare.

Legt man in der Ebene eines Kreiſes M durch einen beliebigen Punkt p eine Sehne, welche den Kreis in den Punkten ar ſchneidet und beſtimmt zu den Punkten par den vierten harmoniſchen, p zugeordneten Punkt p“, ſo nennt man p u. p' zugeordnete har⸗ moniſche Pole in Beznug auf den Kreis M. Von dieſen Punkten gilt nun der Satz:

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