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Das vollſtändige Vierſeit. Ver⸗ längert man je zwei Gegenfeiten eines Vierecks OEHG bis zum Durchſchnitt, alſo OEn. GH bis A, OGu. EH bis C, ſo erhält man das ſogenannte vollſtändige Vierſeit, welches drei Diagonalen 0 H, EG u. AC hat. Von dieſen Diagonalen gilt

nun der Lehrſatz: Jede Diagonale eines vollſtändigen Vierſeits wird von deu andern harmoniſch getheilt. Alſo OH in F u. B; EGin Fu. D und ACin B und D harmoniſch getroffen.

A E, BFu. CG, die ſich in einem Punkte O ſchneiden, werden von DEu. DA ge⸗ ſchnitten, folglich iſt ABCD)=(EFGD); aus demſelben Grunde iſt, weil AG, ECu. FB ſich in H ſchneiden,(EFGPD)=(CBAD); mithin(ABCD)= CBA D). Nun muß aber nach einem Satz der Doppelverhältniſſe(CB AD) der reciproke Werth von (AB CD) ſein. Sollen beide Verhältniſſe gleich ſein, ſo iſt das nur möglich, wenn (AB CD) entweder+1 oder— 1 iſt. Erſteres iſt, da B innerhalb und D außerhalb AC fallen muß unmöglich, alſo muß(AB CD)=— 1 u. EFGD=— 1 u. OFHB=—- 1 ſein, d. h. die Diagonalen theilen ſich harmoniſch.

Aus dieſer Eigenſchaft des vollſtändigen Vierſeits folgt eine weitere Conſtruktions⸗ methode des vierten harmoniſchen Punktes mit alleiniger Anwendung des Lineals.

Seien A, B u. C drei in einer geraden Linie liegenden Punkte, zu denen der vierte harmoniſche geſucht werden ſoll. Man verbinde A, B u. C mit einem beliebigen Punkte O; zieht durch A eine willkührliche Gerade, die 0B in II und 0C in G trifft; zieht CHl die 04A in E ſchneidet; verbindet endlich EG, ſo muß der Schnittpunkt D, den die verlängerte EG mit ABC hat, der geſuchte vierte harmoniſche Punkt ſein.

D

§. 13. Harmoniſche Strahlen.

Legt man durch vier harmoniſche Punkte(AA'BB), die auf einer Geraden liegen, vier Strahlen(aa“bb', die ſich in einem Punkte O ſchneiden, ſo nennt man dieſe vier Strahlen harmoniſche Strahlen, auch Harmoni⸗ kale. Für die Winkel, welche von dieſen Strahlen gebildet werden, gilt die Relation:

sin(à b). sin(a“b)= sin(a b): sin(a“ b).

Der Beweis dieſes Satzes kann auf verſchiedene Weiſe geführt werden.

a Fällt man von 0 die Höhe 0P für die verſchie⸗

V J denen Dreiecke A0 Pec., ſo läßt ſich der Inhalt eines

7 ·„ jeden dieſer Dreiecken durch zwei Formen ausdrücken. 2 2 AAOB= BAB. OP= zOA. OBsin(ab),