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Wenn(abed)=—- 1, ſo iſt nach einem früheren Satze(acdb)= ½, d. h. —= 1 ¹. Da nun ad= ac ed, und ab= ac †eb iſt, ſo läßt ſich dieſe Glei⸗

chung auch auf die Form—= 1— 4 d. h. der reciproke Werth des Abſtandes eines von dem conjugirten harmoniſchen Punkte iſt gleich dem arithmetiſchen Mittel aus den reciproken Werthen der Abſtände des erſten von den beiden andern conjugirten Punkten.

Führen wir ferner die Mitte mezwiſchen zwei zugeordneten Punkten ab ein, alſo

. 1 1 1) . éZ—v41/— bringen, woraus folgt= z(n †ed

am= lab=mb=— bm und ſetzen ac= am me, be=bm †mc, ad=am md, 1, 197. ac a d, am †me am Amd bd= bm †maà in die Gleichung be=— Fa ein, ſo daß alſo xmc= dm pmd

wird, ſo erhält man durch einfache Rechnung die Relation a m?²= m b²= mc. md,

d. h. das Quadrat des Abſtandes der Mitte zwiſchen zwei harmoniſch zugeordneten Punkten von einem derſelben iſt gleich dem Rechteck aus den Abſtänden derſelben Mitte von den beiden andern zugeordueten Punkten.

Dieſe Formel ergibt eine einfache Conſtruktion des vierten harmoniſchen Punktes.

Sci AA“n. B die drei gegebenen harmoniſchen Punkte. Man ſchlage über AA“ einen Halbkreis, 2 errichte in B eine Senkrechte und ziehe von dem 4 N Punkte T, in welchem dieſe den Halbkreis trifft,/„ die Tangente, ſo muß der Punkt B’ auf AA“ der V geſuchte Punkt ſein. Zum Beweis dient AmBT 4 m 41 5 DAmB’IT, alſo

mB mT mT mB“ Wäre A, A“ u. B’' gegeben, ſo wäre die Conſtruktion ebenſo leicht. Man zieht nur von B' die Tangente an den Halbkreis über AA“, errichtet vom Tangentialpunkt T die Senkrechte, ſo muß der Fußpunkt B der vierte harmoniſche Punkt ſein. Mittelſt der oben bewieſenen Gleichung läßt ſich ſehr leicht der Satz von Poncelet beweiſen: Schneiden ſich zwei in einer Ebene liegende Kreiſe rechtwinklig, ſo wird jeder Durchmeſſer des einen Kreiſes von dem andern Kreis harmoniſch getheilt.

Bw. Da 0¹ ſenkrecht auf mI ſteht, alſo eine Aℳ— Tangente von dem Kreiſe, deſſen Mittelpunkt m iſt, I ſo folgt aus dem Satze: Die Tangente iſt das geo⸗ 1)

2.

das iſt mT2== mA²= M. B. mB.

metriſche Mittel zwiſchen der Sekante von demſelben Punkt und ihrem äußeren Abſchnitt, daß OT2= O A2

=OB. op. ℳ