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§. 12. Harmoniſche Theilung(Elemente).

Unter allen Werthen, welche ein Doppelverhältniß annehmen kann, hat einer wegen ſeines häufigen Vorkommens eine beſondere Wichtigkeit. Dieſer ſpecielle Werth eines Doppelverhältniſſes iſt— 1, und wenn das Doppelverhältniß von vier Punkten(abecd) =— 1 iſt, ſo heißen dieſe vier Punkte harmoniſche Punkte und zwar a u. b, e u. d con⸗ jugirte oder zugeordnete Punkte. Da der Werth des harmoniſchen Doppelverhältniſſes — iſt, ſo folgt, daß, wenn c zwiſchen a u. b liegt, d nothwendig außerhalb ab liegen muß und umgekehrt, daß alſo bei 4 harmoniſchen Elementen ein Paar zugeordnete Punkte durch das andere getrennt wird. Aus der Gleichung

ac ad

beba=— 1 folgt 25

d. h. die Verhältniſſe ken. B. a haben gleichen aber entgegengeſetzten Werth. Da nach

dem vorigen Kapitel de Doßelderhülnn(abecd)=(cdab) iſt, ſo folgt ferner daraus, daß, wenn zwei Theilpunkte ed die Strecke ab harmoniſch theilen, umgekehrt auch die Strecke cd von a u. b harmoniſch getheilt wird.

(abed)=— 1 läßt ſich auch ſchreiben= und demnach auch gleich(abdc);

alſo wird die harmoniſche Eigenſchaft nicht anfgehoben ſowohl durch das Vertanſchen von den zugeordneten Punkten, als auch durch Vertanſchung der Paare. Ferner ergibt ſich, daß, wenn a u. b conjugirte Punkte auf einer Geraden ſind und c ein beliebiger Theil⸗ punkt, nur ein einziger Punkt auf dieſer Linie exiſtirt, der e harmoniſch zugeordnet ſein kann und daß, wenn c zwiſchen a u. b liegt, d wie erwähnt außerhalb ab liegen muß und umgekehrt. Für den ſpeciellen Fall, daß c Mittelpunkt von ab wird, müßte d ins

Unendliche, denn 4— 14, d. h. ad u. bd müſſen abſolut genommen gleich ſein, was

44=O0 oder 4=o,

nur möglich, wenn d im Unendlichen, die endliche Strecke ab verſchwindend gegen”¹ iſt.

Anmerkung. Die Bezeichnung harmoniſch hat ihren Grund in phyſikaliſchen Geſetzen. Drei Saiten nämlich von gleicher materieller Beſchaffenheit, gleicher Dickee und Spannung, deren Längen ſich wie die Zahlen 3, 4 und 6 zum Beiſpiel verhalten, geben, in Schwingung geſetzt, die drei Töne, welche die Grundlage aller Harmonie bilden; die drei Zahlen 3, 4 und 6 aber ſind har⸗ moniſch proportionirt, da

3:6= und nach der Erklärung der harmoniſchen Proportion drei Zahlen dann harmoniſch proportionirt

ſind; wenn ſich die kleinſte zur größten(geometriſch) verhält, wie die Differenz zwiſchen der mitt⸗ leren und kleinſten zur Differenz zwiſchen der größten und mittleren.