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A0C BO sinac 1) 3 1 sinbe ne sin ad. BD Sinbd. Ebenſo verhält ſich A 4 e 9 u. B0= in ain; AD A0 Ssinad

. 787-—,.,— 2 die Diviſion ergibt BH. 5o6 sinbd. 2)

Aus dieſen beiden 1) u. 2) Gleichungen folgt t0: 2b=⸗ Mte rta.

Aus dieſem Steiner'ſchen Fundamentalſatz laſſen ſich mehrere Folgerungen ziehen. Zunächſt der Satz von Brianchon.

1) Sind A, B, C, D und A“, B“, C“, D’ die Schnittpunkte zweier beliebigen Trans⸗ verſalen mit den vier Strahlen a, b, e, d eines Büſchels, ſo iſt das Doppelverhältniß der erſten vier Punkte ſo groß, wie das der letzteren vier Punkte. Denn nach dem vorigen Satz iſt das anharmoniſche Verhältniß der vier Strahlen gleich dem der erſten vier Punkte und auch gleich dem der letzten vier Punkte; folglich ſind dieſe letzten zwei Doppelverhältniſſe unter ſich gleich.

(AB CD)=(abcd),(A'B"O“D“)=(abcd), alſo(ABCD)=(A B/C“D.

2) Sind a, b, c, d und a“, b“, c“, d' Strahlen aus zwei beliebigen Punkten nach vier Punkten A, B, C, D einer Geraden, ſo iſt das anharmoniſche Verhältniß der vier erſten Strahlen ſo groß wie das der vier letzteren. Denn es iſt(abed)=(AB 0D) u.(a b'c’d)=(ABCD), alſo(abcd)=(a' b“e“d).

3) Iſt das Doppelverhältniß der vier auf der Geraden g liegenden Punkte A, B, C, D gleich dem der vier anf der Geraden g' liegenden Punkte A“, B“, C“, D“ und legt man beide Linien ſo, daß zwei entſprechende Punkte, z. B. A u. A“ coincidiren, ſo ſchneiden ſich die Verbindungslinien BB“, CC’ und DD“ der drei übrigen Paare von entſprechenden Punkten in einem Punkte O.

Zieht man nämlich die Strahlen BB“= bu. CC0“= c, ſo ſchneiden ſich dieſe in einem Punkte O; verbindet man nun O mit A= a und mit D= Strahl d und be⸗ zeichnet den Schnittpunkt dieſes Strahles d mit der Linie g“ durch D“, ſo wäre(AB CD) =(A“B/0"D“); nach der Vorausſetzung iſt aber(ABCD)=(A“B’/(D), mithin

70 7 7164 7 44 (A'B“C’D9=(A'B”/0D“); oder— S.: 1,= ee ſyhn, d. h. D“ muß mit D“ zu⸗ ſammenfallen.

Zwei gradlinige Punktreihen, bei denen das Doppelverhältniß von irgend vier Punkten der einen Reihe dem der vier entſprechenden Punkte der andern Reihe iſt, nennt Mö⸗ bius collineare und Steiner projektiviſche Punktreihen. Iſt dabei der Durchſchnittspunkt der beiden Geraden ein ſelbſtentſprechender oder genügt derſelbe den in 3) gemachten Vorausſetzungen, ſo heißen die Punktreihen perſpectiviſche. Die Anwendung der Prinzipien der neueren Geometrie auf darſtellende Geometrie iſt in der letzten Zeit eine ſehr ausgedehnte geworden. Als ein elementares Werk zu dieſem Zweck bearbeitet, em⸗ pfiehlt ſich Schleſinger:„Die darſtellende Geometrie im Sinne der neueren Geometrie.“

dividirt gibt A0