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§. 11. Doppelverhältniſſe von vier Geraden.

1. Wenn von einem Punkte 0 zwei Strahlen a u. b ausgehen, ſo iſt die Lage einer andern durch O gehenden Linie, die mit a u. b in derſelben Ebene liegt, unzweideutig

durch das Verhältniß anbe” beſtimmt. Denn entſpäche einer vierten in derſelben Ebene liegenden Geraden d daſſelbe Winkeltheilverhältniß 34= 2, ſo müßte Inbe

sin a d sin bd kann. Subtrahirt man dieſe Gleichung von sinab. sincd † sin ac. sin db † sin ad. sinbe = 0, ſo erhält man sinab. sinced= O. Da aber ab weder= 0, noch= 180° iſt, ſo muß nothwendigerweiſe ced= O oder 180° ſein, d. h. der Strahl d fällt mit dem Strahl c in eine gerade Linie. 2. Sind a, b, c, d vier Strahlen in einer Ebene, die durch den gemeinſchaftlichen Mittelpunkt O gehen, ſo nennt man das Verhältniß sinac sin ad sinac. sinbd sinbe'sinbd sinbc. sin ad und bezeichnet es mit dem Symbol(abed). Drei durch einen Punkt O gehende Strahlen a, b, c und der Werth des Doppelver⸗ hältniſſes(abed)= 7 beſtimmen die feſte Lage eines vierten Strahls. Denn man er⸗ . sin ac sin ad, sin ac sin a d hält aus Abedhe aube⸗ sinbd sinbce, alſo sin bd 5 Größe und ſomit Strahl d unzweideutig feſtgelegt. In Betreff der Veränderung des Werthes eines Doppelverhältniſſes von 4 Strahlen mit der Bewegung eines Strahls und in Betreff der 24 verſchiedenen Doppelverhältniſſe gelten dieſelben Sätze wie ſie für die Doppelverhältniſſe von vier Punkten entwickelt wurden.

ſein, welcher Gleichung man auch die Form sinac. sinbd= sin be. sin ad geben

das Doppelverhältniß dieſer vier Strahlen

= einer conſtanten

Beziehungen der Doppelverhältniſſe von Punkten und Strahlen.

Das Doppelverhältniß von vier Punkten A, B, C, D in gerader Linie iſt gleich dem Doyppelverhältniß von vier Strahlen a, b, e, d, welche von dieſen Punkten aus nach einem beliebigen Punkt O derſelben Ebene gehen. Steiner's Fundamentalſatz(ABCD)=(abcch.

Bw. Nach dem Sinusſatz finden die Glei⸗ chungen ſtatt:

46= In, B6— beide durcheinander