4 4—1 1—1 1 16) CBDA= 21) DBAC==; 19 bbaß 22) DBCA= 1-2 23) DCAB=

7 24) DOBA=.

Um den Gang der Becweisführung zu veranſchaulichen, wollen wir noch Nr. 6 4

ADBC)=— entwickeln.

(ABCD)= I. ABD0C= 1(Vertauſchung der letzten Elemente)

1 19) DABC=

AbRO= l 1(Vertauſchung der innern Elemente des vorigen D. V.), alſo

ADBO)=—

1 1 2 1— Es gibt demnach nur 6 D. V.: 4,1— 4,+☛ά †1σ—1

drei letzten die reciproken Werthe der erſten ſind. Da das Produkt der drei erſten D. V. =— 7²* und die Summe der beiden erſten= 1 iſt, ſo folgt, von drei D. V., bei welchen keines der reciproke Werth des andern iſt, ſind immer zwei poſitiv, das dritte muß ne⸗ gativ ſein.

Die Veränderung des D. V., welche bei der Bewegung eines ſeiner Elemente ein⸗ tritt, lißt ſich in analoger Weiſe wie die Veränderung des einfachen Theilverhältniſſes unterſuchen. Iſt in(abed) d das bewegliche Element, ſo ändert ſich in dem D. V. nur

1; , von denen die

da. Die verſchiedenen Werthe des Doppelverhältniſſes ſind alſo, da 2— ein conſtanter Faktor iſt, die nämlichen, wie die Werthe des einfachen Theilverhältniſſes multiplicirt mit

dieſem conſtanten Faktor. Iſt c ein äußerer Theilpunkt, † t t, alſo ae

be

poſitiv, ſo wird der Werth des Doppelverhältniſſes(abed) für: d im Unendlichen=+, während d von bis a geht= †; wenn d in a fällt= 0; während d von a bis b geht=—; wenn d in b fällt= O0; geht d von b bis c= †; wenn d in e fällt= †l, während d von c bis ins Unendliche geht= †.

Liegen abe der Art 3 ¼ 3 ſo iſte negativ und der Werth des Dop⸗ pelverhältniſſes(abed) wird für d im Unendlichen=—, während d von bis a geht=—, wenn d in a fällt= 6, während d von a bis c geht=+, wenn d in c

fällt= †l, während d von c bis b geht= †, wenn d in b fällt= O, während d von b ins Unendliche geht=—. 3*