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dder AC. BD AD. BC BC. AD'Bb. AC AC AD ,AB AD Bw. AB. CD AC. DBAD. B0C= O. Dividirt durch BC. DA gibt AB CD ,AC DB: 1 BO-PA 1SO-PAX— 1= O. Vertauſcht man die Elemente BC u. DA im erſten und DB u. DA im zweiten Summanden, ſo folgt: AB AbD AC. AD Un⸗ 65:o5 4EO:BP= l,⸗ d. h.(ABCD) ACBPD)=. Aus der Gleichung I läßt ſich auf leichte Weiſe darthun, daß(AB CD)=(CDAB) =(BADC)=(DCBA) iſt. Zum Beweiſe nehmen wir AO.AD AG.BD BG6'BD BGC. AD OA,CE CADE DA'DB DA. CB'

= 1 w. zu bew. war.

und

Vertauſcht man in dem letzten Produkt CA mit ACec., ſo geht es über in tb⸗h. Es refultirt hieraus: Der Werth eines Doppelverhältniſſes wird nicht verändert, wenn man das erſte und zweite Paar oder in dieſen Paaren die Elemente in derſelben cykliſchen Folge vertauſcht. 1

Die zweite Gleichung(AB CD)=&1RDSO) zeigt: Der Werth eines Doppelver⸗

hältniſſes geht in ſeinen reciproken über, wenn man die beiden letzten Elemente vertanſcht.

Endlich ergibt ſich aus Gleichung III, ABCD+ ACBD= I, daß bei Vertauſchung der beiden mittleren Elemente das complementäre Doppelverhältniß erſcheint, d. h. der Werth verändert ſich in die Ergänzung zu 1.

Nach dieſen drei Sätzen laſſen ſich ſomit ſämmtliche 24 Doppelverhältniſſe aufſtellen, wenn der Werth(AB CD)= 1 gegeben iſt.

1) ABCD= 2 8) BADC= 2 1— 2) ABbC= 9) BCAD= 12 3) ACBD= 1—(nach III) 31 4) AC0DB= L=—(nach Iu. III) 1—1 . 11) BDAOC= 1- 4 5) ADCB=— 1 1— 12) BDOA==, 6) ADBO= f 4

CABD= E., 13) CA—

1 7) B405b= 7 14) CADB= I- 2