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ſo wird AxX Bx, alſo durchlauft br alle negativen Zahlenwerthe von— 1 an. Fällt

x mit dem zweiten feſten Punkte B zuſammen, ſo wird ⁵. Rücke x in derſelben Weiſe über B hinaus nach der poſitiven Richtung weiter, ſo wird AX-Bx und da beide Segmente poſitiv 1 1. Von B bis ins Unendliche wächſt Bx, der Onuotient

A wird alſo immer kleiner; rückt x in unendliche Ferne, ſo iſt AX= Bx(AB als end⸗

liche Strecke iſt verſchwindend klein), alſo 4= 1. Rückt der Punkt x über A hinaus, ſo iſt Ax negativ und Bx n. ⸗ 1; je weiter der Punkt in dieſer Richtung rückt, deſto

größer wird der Zähler Ax; für x im Unendlichen iſt 62 1. Da dem Theilverhält⸗

niß 1 ſowohl der über B als auch der über A hinaus unendlich entfernte Punkt ent⸗ ſpricht, ſo ſagt man, daß es auf einer Geraden nur einen einzigen unendlich entfernten Punkt gibt.

2. Wird die Strecke AB von zwei andern Punkten C u. D getheilt, ſo nennt man das Verhältniß dieſer beiden Theilverhältniſſe das Doppelverhältniß der vier Punkte A, B, C, D.

.46:A5= zeedh iſt das Doppelverhältniß der Punkte A, B, C, D und wird mit dem Symbol(AB CD) bezeichnet. Sind drei Punkte ABC durch das Theilverhältniß

AC 4.„. 5:. = in einer Geraden gegeben, ſo wird ein vierter Punkt D eindeutig durch den

E6 Werth des Doppelverhältniſſes(AB CD)= feſtgelegt. Denn 46= 1. 45, oder da AC

5o,= 5b; und da hier die linke Seite der Gleichung eine bekannte Größe iſt,

der Punkt D ſeiner Lage nach fixirt. Das Doppelverhältniß iſt ſomit ein zweites Hülfs⸗ mittel zur Beſtimmung der Lage eines Punktes auf einer geraden Linie.

Vertauſcht man Elemente des Doppelverhältniſſes, ſo finden verſchiedene Verände⸗ rungen des Werthes von dieſem Verhältniß ſtatt. Den Zuſammenhang dieſer verſchie⸗ denen Werthe kann man leicht vermittelſt der folgenden drei Gleichungen beweiſen.

AC AD AC. BD

I. B6:BD= BG-AD= ABOp) AC AD 1. ABDC BP'BG AC. BD 1 Bw. Dividirt man die beiden Doppelbrüche, ſo iſt B0-AD= XD.BO

BP. AXS 3