— 16—

gleich ſeiner im entgegengeſetzten Sinne gerechneten Ergänzung zu 360 gerechnet wird, alſo= 360—, oder F ½ 360= c, d. h. wir rechnen zwei Winkel, die ſich um eine ganze Umdrehung oder um ein Vieffaches derſelben unterſcheiden, als gleichwerthig.

Gehen von einem Punkte O drei Strahlen a, b, c in derſelben Ebene aus, ſo iſt ſtets

ab+† be+ea= O0 oder ab+ be= ac oder ac— be= ab.

Ebenſo ergibt ſich für beliebige Strahlen

4 ab+† be+... Im mnna= O, was ſich durch den Käſtner'ſchen Schluß von n auf n+†l verificiren läßt.

Die Größe trigonometriſcher Funktionen für c= n. 360+c iſt bekanntlich von n unabhängig; demnach laſſen ſich nach obigen Relationen folgende Fundamentalformeln aufſtellen:

sin(a b)=— sin(b a)

oder sin(a b) sin(ba)= 0

endlich sin(ab be †.... mn)= sin anec. cos(a b)= cos(ba) u. ſ. w.

§. 10. Von den Doppelverhältniſſen.

1. Wenn auf einer geraden Linie zwei feſte Punkte A u. B gegeben ſind, ſo iſt jeder

zce AC:

dritte Punkt C dieſer Geraden unzweideutig durch das Verhältniß B0“ nach welchen die Strecke AB von C getheilt wird, gegeben. Denn wäre die Strecke AB auch von einem zweiten Punkt D in demſelben Verhältniß getheilt, ſo müßte 60= 52, oder A0C. BD — BC.AD= O. Nach Gleichung(§K. 8) iſt AC. DB AB. CDAD. BC= O. Ad⸗ dirt man hierzu die obige Gleichung, ſo folgt, da DB=— BD iſt: AB. CD= O. Da AB nicht= O iſt, ſo muß CD= 0 ſein, d. h. der Punkt D muß mit C zuſammen⸗ fallen. Durch dieſen Quotienten der Segmente, in welche ein dritter Punkt x alſo die Strecke AB theilt, ſei es nach innerem oder äußerem Theilverhältniß, iſt die neuere Geo⸗ metrie im Stande jeden Punkt der Geraden AB feſtzulegen. Iſt Ax= O0, d. h. fällt

der Theilpunkt x mit A zuſammen, ſo iſt n 0; wächſt das Segment Ax nach der : A. poſitiven Richtung, ſo durchlauft— alle echten negativen Brüche. Für den Mittel⸗

punkt von AB iſt 3=— 1; rückt der Punkt über den Mittelpunkt hinaus nach B zu,