— 15—

ſchreiben, woraus die Identität von ſelbſt folgt. Ebenſo geſtaltet ſich die Gleichung, wenn B in der Strecke AC über A hinausliegt: AB BCT CA= ABT(BATAC)+ CA= O, da BC= BAX AC iſt.

Erweitert man dieſen Satz für beliebige Punkte A, B, C,.. M, N, ſo gilt ſtets die

Gleichung ABT BCT J+LMTMNTNA= VI oder AB BC+. †+LM MN=AN.

Zum Beweis nehme man an der Satz gälte für eine Einheit kleinere Anzahl Punkte, ſo daß AB4 BC. LM MA= O beſtände. Addirt man dazu die Gleichung AM + MNNA= O, ſo hebt ſich AM gegen MA und es reſultirt die Gleichung

ABT BOCT. MNTNA= O.

Wenn demnach die Gleichung für N Punkte gilt, ſo gilt ſie auch für N+ 1 Punkte. Nun iſt ſie aber für 3 Punkte bewieſen worden, folglich gilt ſie auch für vier, alſo auch für fünf ꝛc.

Iſt A der Mittelpunkt des Segmentes A“A“ einer Geraden und O ein beliebiger Punkt derſelben, ſo iſt jedesmal

0A+ 0A“ OA= OA“+ A4 und 64——„denn 0A=OAà“ A“àA

da aber AA=AA“=— A“Aitt, ſo folgt durch Add. 20 A= OA“+ OA“, alſo 7 44 0A= 24

Sind A, B, C, D vier Punkte einer geraden Linie, ſo exiſtirt die Gleichung AB. CDTAC.DB+ AD. BC= O.

Beweis. A0+ CA= O und AB ßB04CA= 0 muttipliciren wir die erſte Gleichung mit BC und die zweite mit CD und addiren hierauf beide, ſo erhalten wir AC: BOC BA. BCAB. CD+ B0. CD+ CA. CD= O oder AB. CD4 BC(AC4 CD) CAGOX CD)= O

ACTCD=AD und B0+ CD= BD; folglich A B. CD AC. DBAD. BC= O9.

§. 9. Das prinzip der Vorzeichen für Winkel und ebene Flächen. Der von zwei Strahlen a u. b, die ſich im Punkte 0 ſchneiden, eingeſchloſſene Winkel

wird mit ab oder mit ba bezeichnet, je nachdem man ſich denſelben beſchrieben denkt durch Drehung eines Strahls aus der Lage a in die Lage b, oder durch Drehung aus

der Lage b in die Lage a. Bezeichnet man die Drehung von a 5

nach b in der Richtung des Pfeiles(alſo nach oben) als poſitiv,—/

ſo muß die umgekehrte Drehung von b uach a als die entgegen⸗ C-. L geſetzte(negative) genommen werden. Demnach wäre ab=— ba VA

oder ab ba= O. Zu bemerken bliebe hier noch, daß Winkel cp f/ h