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Da M A: Mo A=R: r u. M I: M.I= R:r alſo—— 1, ſo folgt, daß die
vier Punkte M. I, A harmoniſch ſind, und zwar ſind Ma u. Ma, I u. A zugeordnet.
Jede Sekante zweier Kreiſe, welche durch ihren Aehnlichkeitspunkt geht, beſtimmt in ihren Durchſchnittspunkten mit den Kreiſen die Endpunkte zweier Paare parallelen Radien.
Bew. einfach.— Zieht man durch den äußeren Aehnlichkeitspunkt A einen beliebigen Strahl S und von Muu. Ma aus zwei parallele Gerade, welche 8 in Cuu. Cz ſchneiden, ſo iſt wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke M. C. A u. M. Ce A:
’ M. CI: M. C= M. A: M, A= R: r.
Findet umgekehrt dieſe Relation für die Abſchnitte M. Cn u. M. GCo ſtatt, welche zwei von M u. M. parallele Geraden mit einem Strahle G bilden, ſo muß der Strahl durch den äußeren Aehnlichkeitspunkt A gehen.— Wäre in der That A“ der Durchſchnitt des Strahles G mit der Centralen, ſo muß
MI C M A
E. G.=.; nach der Vorausſetzung iſt aber MI C J M. NGe= ra R alſo a vi A A= n ferner iſt M. Ar † M. A= d, und da für den Aehnlichkeitspunkt die Gleichungen exiſtiren:— 4=n. M. A M. A= d,
ſo folgt daß M. A= M. Ai, d. h. A mit A zuſammenfallen muß
§. 7. Aehnlichkeitspunkte dreier Kreiſe.
Drei Kreiſe M. M. M, mit den resp. Radien rurer. geben zu je zwei aufgefaßt 6 Aehnlichkeitspunkten den Urſprung, nämlich drei äußeren und drei inneren. Die Aehnlich— keitspunkte von M u. M. ſeien Au u. Liz, zu M u. M. Am u. Lz, zu Ma u. M, Aas u. Is.
Für dieſe 6 Aehnlichkeitspunkte gilt nun der folgende Lehrſatz von Monge:
1) Die drei äußeren Aehnlichkeitspunkte liegen auf einer Geraden, und ebenſo liegt jeder äußere mit den beiden nicht zugehörigen inneren Aehnlichkeits⸗ punkten auf einer Geraden.
Alſo Ais Ais A2s; Aiz Iis Ias; Ais Iiz Ias; Ais Iie Jes liegen jedesmal auf einer Geraden.
Der Beweis dieſes wichtigen Satzes kann auf
mehrfache Weiſe geführt werden. Mit Benutzung des Lehrſatzes von Menelans erhält man aus dem Dreieck M. Me M.:
A2s Me: Azs Ma= re: re nach§. 6; oder
Ars Ma. r.= A Ma. T.. In derſelben Weiſe folgt:
Aai Ma. ri= Aa Mi. ra u.
Ais Mi. r.= Ais Ma. ri.
Dieſe 3 Gleichungen multipplicirt gibt: Aas Me. Ae Ma. Als M.= As Ma. Ar ML. Anz Ma d. h.
die Bedingung unter welchen drei Punkte auf derſelben Geraden liegen, iſt erfüllt.