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Bei Berechnung einer Winkelgröße sind bei den Aufgaben der Gruppen II und III vorzugs- weise nachstehende Regeln*) zu beobachten, welche wir hier der Übersicht halber zusammenstellen:

1. Während der Rechnung werden bei unbekannten Winkeln nur die Funktionen Sinus und Kosinus benutzt.

2. Ein Binom von Funktionen unbekannter Winkel wird nach den Formeln für sin a+ sin 5 und cos a+ cos z in ein Doppelprodukt verwandelt.

3. Ein Doppelprodukt von Funktionen unbe- kannter Winkel wird nach den Umkehrungen von sin(ρ‿ ½)+ sin(4 in ein Binom verwandelt.

4. Eine Proportion, in welcher die eine Seite ein Verhältnis von Funktionen unbekannter Winkel ist, wird, um Binome zu erhalten, nach dem Lehr- satz von der korrespondierenden Addition umge- formt und dann nach Regel 2 weiter behaudelt.

„) u. cos(— 9) 4 cos(† ⁵)

aus denen sich die Winkel des Dreiecks berechnen lassen, z. B. ⁴ u. oder u. 5— oder+ und 4— oder 4+ u. 6— † u. dergl.) und ein beliebiges andere Stück, r allein ausgenommen, Man soll ein zweites Stück berechnen.

Auflösung.

Man drückt beide, das gesuchte und das ge- gebene Stück, durch r und die Winkel aus und zwar, wenn möglich, in geschlossener Form. Sind beide Gleichungen dann in Beziehung auf r von demselben Grade, so wird diese Unbekannte durch Division der beiden Gleichungen eliminiert und die so erhaltene neue Gleichung nach der zu berech- nenden Unbekannten aufgelöst und diese schließlich logarithmisch berechnet. Ist die eine der beiden

Urgleichungen aber in Beziehung auf r vom ersten

Anmkg.: Die korresp. Addition läßt sich

auch mit Vorteil anwenden, wenn die Glieder des

Verhältnisses Produkte von Funktionen unbekannter

Winkel sind, da man hierdurch leicht zu den Formeln für sin(4+2‿) und cos(ν+‿̈§) gelangt.

5. Kommt derselbe unbekannte Winkel mehr als einmal vor, so muß er in derselben Größe(als halber oder ganzer W.) und in derselben Funktion vorkommen.

Die Funktionen dürfen nur in dem Fall ver-

schieden bleiben, wenn sich aus der Gleichung oder den Gleichungen ihr Produkt oder Quotient er- mitteln läßt, weil das Produkt 2 sin ⁴ cos α sin 2 und der Quotient sin a: cos a= tg a bezw. cos: sin= cofg a ist.

4. I. Gruppe.

Aufgabe: Von einem Dreieck Winkel gegeben(oder solche zwei Winkelgrößen,

A.

*) Hierauf bezieht sich der Hinweis:„Regel 1“ u. s. w. in den ausgeführten Beispielen.

sind zwei

Grade, während die andere vom zweiten ist, so muß zunächst die erstere quadriert werden, damit bei der nachfolgenden Division die Unbekannte r herausfällt.

Musterbeispiel.

Aufgabe: Von einem spitzwinkeligen Drei- eck sind die Winkel und b, sowie sein Flächen- inhalt F gegeben. Man berechne den halben Um- fang des Fußpunktdreiecks S,. a⁴ 69⁰ 48 17“

5= 58⁰ 24 33; F= 25, 5 qcm.

Srgebnis: s,= 5, 66 cm.

Ausrechnung.

I) Wir drücken zunächst die Unbekannte s, durch r und die W. aus:

4(a, † b,+ c,)

r,(Sin a,+ sin,+ sin 1I,)

S,—

T

7, 2(08

2 cos 2 und somit, wenn wir den Radius und die Winkel des Urdreiecks einführen:

2 r cos(900— a) cos(900— 3) cos(900— ⁷)

4 1r, Cos

8,—

8,

= 21 sin a sin 5 sin 7