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Aufgabe: Die Stücke des Fußpunktdreiecks

durch den Radius des umschr. Kreises und

Winkel des Urdreiecks auszudrücken.

Auflösung.

Fußpunktdreiecks nach der vorigen Aufgabe durch

den Radius seines umschriebenen Kreises und seiner

sich Ur-

aus und führe sodann statt dieser Größen die aus obigen Lehrsätzen ergebenden Werte des dreiecks ein, z. B.:

1) a, t, cotg ³ ⁵,— cotg 17 4 r, sin ¹, cos a, s eh sin 1, sin(6, Pr⸗ = 41, sin a, sin † 5, sin ¼ ⸗, Wenn nun das Urdreieck spitzw. ist, so ist

=— 2(R— J);6.= 2(KR— H); 1.= 2(R 1) und da ferner r,*, so ergibt sich:

b,= 2 1† sin(R— a¹) sin(R—) sin(R)

= 21 cos Cos B cos 1.

Ist dagegen das Urdreiek z. B. bei A stumpf-

winkelig, so ist: 4,= 2(4— R); B,= 2

und man erhält:

6 u. 1,= 21 6,= 21 sin(4— R)*) sin b sin 7. 2) F,= 2 r. ² sin«, sin b, sin I, Hieraus erhält man für ein spitzw. Urdreieck: E.=* r2 sin 2 sin 2 sin 21 für ein bei A s F,= 1 12

erhält.

stumpfwinkeliges dagegen: sin 2(4— R)*) sin 2 f sin 21

*) Um negative Größen zu vermeiden, ist eine weitere Umformung unterblieben.

die= 2 r, sin a, sin 6,— 4 1, sin 4,

= 41, sin 1

Winkel, also durch r, u. die Winkel ⁴,;, u. 7. und hieraus folgt für ein spitzw. Urdreieck:

3) he,— 6,

sin ¼ 3, sin ½-,

5

= 4 r sin* a, sin 5,(2 cos à, cos ¼ 5,— sin*-¼)

.. 4r, sin 1 sin 4 5,( S§ 4(A,— 5,)+ cos 4(α,5 Man drücke das zu berechnende Stück des 4 r, sin ³ 4, sin ³ ½,(os 3(a,— 5,)† 3(4, 4 6,)

in 1„

¹, sin ½, cos(a,— ½,)

he,— 5,= 21 cos à cos 5 cos(6—) = 2 † cos cos cos(4— 5) für ein bei A stumpfwinkeliges dagegen:

he,—„(,yü= 2 r sin(4— R) sin 5 sin(à— ⁵)

2 0

In welcher Weise man nun die in§ 1 ange- deutete Rechnung anlegt, wollen wir in den ff. Paragraphen darlegen und teilen zu diesem Zweck die zu behandelnden Dreiecks-Aufgaben an der Hand der Khnlichkeitssätze in folgende Gruppen ein:

I) Gegeben: 2 Winkelgrößen(somit die W. des Dreiecks) und ein beliebiges andere Stück, ausgenommen r, da diese Aufgabe schon in § 2 behandelt wurde.

II) Gegeben: 1 Winkelgröße, 1 Verhältnis*) zweier andern Stücke und ein drittes Stück.

Gegeben: 1 Winkel und 2 worunter auch r sein kann.

III) Gegeben: 2 Verhältnisse und ein weiteres Stück, allein kein Winkel. IIIa) Gegeben: 1 Verhältnis und Stücke, wo-

runter auch r vorkommen darf, allein kein Winkel

IIIb) Gegeben: 3 Stücke, worunter auch r vor- kommen darf, allein kein Winkel.

IIa) andere Stücke,

*) Das eine Glied eines gegebenen Verhältnisses kann auch r sein.