B. Das Fußpunktdreieck A,B,0,.

Verbindet man die Fußpunkte der Höhen mit einander, so erhält man das sogenannte Fußpunkt- dreieck.

In Betreff der Bezeichnung merke man: Da das Fußpunktdreieck A, B,C, heißt, so erhalten die Buchstaben für die Seiten, Winkel, Radien und den Flächeninhalt desselben dementsprechend eben- falls den Index 1, also z. B.:

a,; à,; ha,; T,; Pa,; a-e,; o-lna, Il. S. W.

1. Lehrsatz: In jedem Dreieck schneidet die

Verbindungslinie zweier Höhenfußpunkte ein dem ganzen ähnliches Dreieck ab.— Die Verbindungs-

linie ist der 3. Dreiecksseite nicht parallel(anti- parallel). Behauptung: A,BO,— ABC Beweis: a) für das spitzw. Dreieck. Schlägt man über AC den Halbkreis, so muß dieser durch A, u. C, gehen, weil die Winkel bei K, u. C, Rechte sind. Somit ist AC, A,O ein Sehnen- viereck und folglich: ₰a+ ₰ CA,C,= 2 R . BA,C,+ CA,C= 2 R

Da außerdem der Winkel gemeinschaftlich, ist: A, BC,— ABC aus 2 Winkeln.

b) für das stumpfw. Dreieck.

Das Dreieck ABC sei bei A stumpfwinkelig. Konstruktion wie vorher, dann ist:

₰ A,C,A= als Peripheriewinkel über AA, ferner ist 6 gemeinschaftlich, folglich: A,BO,— ABO aus 2 Winkeln. Folgerung. Im spitzwinkeligen Dreieck ist: 4,= 2(R 4); 6,= 2(R 5); 7,= 2(R).

Im stumpfwinkl. Dreieck dagegen ist der dem stumpfen Winkel des Urdreiecks entsprechende W. a,= 2(a— R) die anderen 6,= 2 6; 1,= 271.

2. Lehrsatz: Der Radius des um das Fuß- punktdreieck beschriebenen Kreises ist gleich der Hälfte des um das Urdreieck beschriebenen.

Behauptung: ri= Ir.

Beweis: a) für das spitzw. Dreieck: à,

2 sin,

AC, sin α sin B

T,=

aà,— sin aà,= sin(2 R— 2)

.— 8j 6 b cos a sina sin 2 2 sin =—„ sin 2

2 sin B

= t sin 2

Setzt man die Werte für a, und sin a, in die Gleichung für r, ein, so hat man:

1.= sin 2 ³

* 2 sin 2

10—

T.

b) für das stumpfw. Dreieck:

AC, sin⸗

sin a,= sin(2— 2 R)

7

— b. Cos(180 a)sin⸗ ain 22

sin 5

b. — 2 sin cos

2 sin

=— r sin 2

somit ergibt sich für r,

— rsin 2 ³ — 2 sin 2

14—

1.— r.