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rechnenden zu ermitteln und die gegebene Aufgabe so auf eine der Grundaufgaben zurückzuführen.— Hierbei kann es auch nötig werden, daß man zu- nächst eine Gleichung zwischen gegebenen Stücken und einer Hilfsgröße, zu welcher auch die zu suchende Unbekannte in Beziehung steht, aufstellt, hieraus die Hilfsgröße berechnet und erst dann mit Benutzung der nunmehr bestimmten Hilfsgröße die eigentliche Unbekannte berechnet. Die Hilfs- größe wird hierbei in der Regel nicht numerisch berechnet. Wir berechnen dieselbe nur dann, wenn sie ein Winkel ist oder ihre Nichtberechnung die Auflösung der Endgleichung unnötig erschweren würde. 1

Die analytische Methode dagegen stellt, sei es an einer Figur oder, wie dies in den meisten Fällen geschieht, ohne eine solche eine hinreichende Anzahl. Gleichungen zwischen den gegebenen und den ge- suchten Stücken, sowie den etwa nötigen Hilfsgrößen auf, aus welchen sie dann meist mit Zuhilfenahme

goniometrischer Lehrsätze und Formeln die Glei-

chung für die zu berechnende Unbekannte auf rein

arithmetischem Wege ableitet und dieselbe so be-

rechuet.

Am besten nun eignen sich hierzu die

Gleichungen, welche man erhält, wenn man die

gegebenen Stücke sowie das zu berechnende nach Anleitung des folgenden Paragraphen durch r und die Winkel ausdrückt, weshalb wir diese Methode auch die„r Methode“ nennen.

§ 2. Aufgabe: Die(wichtigsten) Stücke eines Dreiecks durch den Radius des umschriebenen

Kreises und die Winkel auszudrücken.

Auflösung. A) Das Urdreieck ABO*)

*) In Betreff der nötig werdenden Figuren merke man:

die Höhen AA,; BB, u. CC, sind mit ha; hp u. he bezeichnet,

der Höhendurchschnitt mit O0, die Winkelhalbierer AD; BE; OF mit W; W und w. P.

I. Die Seiten: a; b; c und ihre algebraischen Summen: a+ b; a— b; s;S— a; s— b u. s— c. 1) a= 2 r sin a*) b= 21 sin 3 e= 21 sin 2) a+† b= 21(sin a+† sin 5) = 4r sin(4+f 5) cos ¼(4—) 4 r cos 7 cos ¼(a— 5)

3) a— b= 21(sin a— sin 3)

4 r sin(4— S) cos(a+ 5) 4 r sin 4(4— 5) sin 1

a+†b e

2

r(sin a+ sin 3+ sin) 4 T cos à cos 1 5 cos 1 I. a.*b

2

b+e— a

= r Gin ß+ sin 7— sin a) 4 r sin 1 5 sin 4 † cos α

4) 8

5) s— a=

Ebenso bezw. durch Vertauschung der Buch- staben ergibt sich: s.— b= 4r sin ¼ a cos 1 8 sin

a Sin ½ 8 cos

4 1 s— c= 4r sin 1

ſ

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II. Die Projektionen der Seiten auf einander. Dabei bedeutet: ape die Projektion von a auf c u. s w.

Aus cos= 5 folgt: 6) cpa= cC cCos 3

= 2* sin 7 cos 5 analog hat man weiter:

vpa= 21 sin 5 cos

U. S. W.

7) vpa— cpa= 2(sin ß cos 7— sin 7 cos 6) = 21 sin(6— 7). *) Nur die Gleichungen unter 1) sind auswendig zu lernen. 2