—. 9—.

X. Flächenberechnung.

Masszahlen, Längen- und Flächeneinheiten. Inhalt eines Rechtecks, wenn die Masszahlen

für die anstossenden Seiten a und h sind. 1. Fall: a und h sind ganze Zahlen; 2. Fall: a und 5 2 5

sind gebrochene Zahlen, etwa a= 2 ½(Längeneinheiten), Dh= 3(= 2, 5b=*). Man teile

a in 5 und b in 11 gleiche Teile und ziehe durch die Teilpunkte Parallele zu den Rechteck- seiten, dann kommen auf eine Flächeneinheit, d. i. ein Quadrat aus der Längeneinheit, 2 ✕ 3 der

8 5*✕ 11 entstandenen kongruenten Rechtecke, also enthält das gegebene Rechteck — 22½.3 1 Flächeneinheiten.— Inhalt des Quadrats, Parallelogramms, Dreiecks, Trapezes und

regelmässigen Vielecks.

XI. Proportionale Strecken.

Sind die Masszahlen zweier Strecken A4B= a= 6em und CD=„= 4em, so verhalten sich die Strecken wie 6 zu 4 oder wie 3 zu 2(der 3. Teil von 4 ist gleich der Hälfte von CD) und man schreibt:

45 à 6 B: CD= àA:b= 6:4, oder 5„= 1 Sind zwei andere Strecken gegeben, nämlich= a= 9em und Cp= v= 6em, s0 ist auch AR: OD“= g: 6= 9:6= 3; 2. Beidemal ergiebt sich dasselbe Verhältnis 2, daher

bilden die 4 Strecken eine Proportion: 435: OD 4': O0) oder aA:= a; P. Sätze über Proportionen, welche in der Geometrie notwendig sind: 1) In jeder Proportion ist das Produkt der inneren Glieder gleich dem Produkte der äussern; daher kann man die inneren oder die äusseren Glieder mit einander vertauschen. 2) In jeder Proportion verhält sich die Summe(Unterschied) des 1. und 2. Gliedes zum 1. oder 2. Gliede, wie die Summe(Unterschied) des 3. und 4. Gliedes zum 3. oder 4. Gliede. 3) Stimmen 2 Proportionen in 3 gleichgelegenen Gliedern überein, so sind auch die 4. Glieder einander gleich. Ferner ist auseinander zu setzen, was unter einer fortlau fenden Proportion zu ver- stehen ist. Ist a: b= al: i und a: c= al:&l— so schreibt man kürzer a: b: c= àA: M.:&G (Umgekehrt!). Man erhält proportionale Strecken, wenn man die Schenkel eines Winkels oder zusammenlaufende Linien von Parallelen durchschneidet. Als wichtig ist dann hervorzuheben, dass die zwischen den Schenkeln eines Winkels ausgespannten Parallelen sich verhalten wie die gleichgelegenen Abstände ihrer Endpunkte vom Scheitel des Winkels. Aufgaben: Eine Strecke nach einem gegebenen Verhältnis(3: 5 oder a: L) zu teilen; und zu 3 Strecken a, b und eine 4. zu finden, so dass a: Dh= e: x.

XII. Ahnliche Piguren.

Erklärung. Zu einem Dreieck und Vieleck ein ähnliches zeichnen(dessen Seiten zu den- jenigen des gegebenen sich etwa wie 2: 3 verhalten).— KAhnlichkeitssätze und Anwendung derselben auf gleichgezogene Strecken in ähnlichen Dreiecken. Schwerpunkt eines Dreiecks. Verhältnis der durch die Halbierende eines Dreieckswinkels erhaltenen Teile der Gegenseite. Mittlere Proportionale in rechtwinkligen Dreiecken. Stetige Teilung einer Strecke. Das gleich-

schenklige Dreieck, dessen Grundlinie der grössere Abschnitt des stetig geteilten Schenkels ist. 2