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IV. Kongruente und nicht kongruente Dreiecke.

Man gehe zunächst von der Konstruktion eines Dreiecks versuchsweise aus 3 Seiten und 2 Winkeln aus. Es stellt sich heraus, dass ein Dreieck aus 3 der gegebenen 5 Stücke schon bestimmt ist und man die anderen Stücke nicht mehr wählen kann, wie man will.— Beim 4. Kongruenzsatz kann man sich allenfalls auf rechtwinklige Dreiecke beschränken; mindestens hebe man den häufig zur Anwendung kommenden Fall für rechtwinklige Dreiecke besonders hervor, also:„Zwei rechtwinklige Dreiecke sind kongruent, wenn sie in der Hypotenuse und in einer Kathete übereinstimmen.“ 2 Nichtkongruenzsätze halte ich für das System für notwendig, nämlich: 1)„Sind 2 Seiten eines Dreiecks zweien Seiten eines anderen gleich, die von ihnen eingeschlossenen Winkel aber ungleich, so sind auch die dritten Seiten beider Dreiecke ungleich und zwar liegt dem grösseren eingeschlossenen Winkel auch die grössere Seite gegenüber“, und 2) die Umkehrung dieses Satzes. Eine häufige Anwendung hat auch der folgende Nichtkongruenzsatz für rechtwink- lige Dreiecke:„Stimmen 2 rechtwinklige Dreiecke in der Hypotenuse überein, nicht aber in den einen Katheten, so sind auch die anderen Katheten ungleich und zwar gehört zur grösseren ersteren Kathete die kleinere zweite.“

Aus III und IV lernt der Schüler, wie er es einstweilen anzufangen hat, um zu beweisen, dass ein paar Seiten oder Winkel gleich oder ungleich sind. Entweder liegen die z. B. als un- gleich zu beweisenden Winkel in 1 Dreieck, in welchem eine Seite grösser ist als eine andere— oder die betreffenden Winkel liegen in 2 Dreiecken, welche in 2 Seiten übereinstimmen, nicht aber in der dritten Seite. Hierbei ist der Schüler öfters genötigt, durch Hülfslinien oder durch Aufeinanderlegen der Figuren sich solche Dreiecke zu verschaffen.

v. Anwendung der Kongruenzsätze auf symmetrische Piguren.

Das gleichschenklige Dreieck und die von mir schon erwähnte, vom Scheitel des gleich- schenkligen Dreiecks aus gezogene Linie, welche gleichzeitig 3 Eigenschaften hat. In diesem Ab- schnitt ist namentlich der Satz hervorzuheben, dass„die in der Mitte einer Strecke errichtete Senkrechte lauter und alle Punkte enthält, welche von den Endpunkten der Strecke gleich weit entfernt sind“, dass, sobald man einen Punkt hat, der von den Endpunkten einer Strecke gleich- weit entfernt ist, derselbe auf der Senkrechten liegt, welche durch die Mitte der Strecke geht und dass durch 2 Punkte dieser Eigenschaft die betreffende Senkrechte bestimmt ist. Ferner zeige man, dass„die Halbierungslinie eines Winkels lauter und alle Punkte enthält, welche von den Schenkeln des Winkels gleichweit entfernt sind“. Von Konstruktionsaufgaben gehören hierher die besonders wichtigen: eine Linie und einen Winkel zu halbieren, in einem Punkte einer Graden hierauf eine Senkrechte zu errichten und von einem Punkte ausserhalb einer Graden auf diese eine Senkrechte herabzulassen.

Sind die Schüler angehalten, im Anschluss an die vorstehenden 5 Abschnitte leichte Kon- strukti onsaufgaben zu lösen, so würde damit der Unterrichtsstoff der Quarta erledigt sein.—