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dem Leitfaden können sie füglich fortbleiben; jedenfalls dürfen dergleichen Sätze nicht gleichwertig neben den Hauptsätzen erscheinen.—

Wie die Form der Erklärungen und Lehrsätze der Fassungskraft und dem Ausdrucks- vermögen des Schülers anzupassen ist, ebenso muss auch die Beweisführung der Sätze, namentlich anfangs, natürlich klar und genau, aber in möglichster Einfachheit erfolgen. Häufig wird ein viel zu umfangreicher schematischer Apparat in Bewegung gesetzt, wo wenige Worte genügten. Um z. B. zu beweisen, dass Scheitelwinkel gleich gross sind— einer der allerersten planimetrischen Lehrsätze— wird dem Quartaner der folgende Beweisapparat vorgeführt:

Voraussetzung:+ 000 ist Scheitelwinkel zu+ 405. Behauptung: ₰+⁹ C00D= X+ 40B.

Beweis:+ C05b+ X+‿ C0B= 2 R(nach Voraussetzung und dem Satze, dass Nebenwinkel zusammen 2 R betragen).

X+ 405+ X C06= 2 R(aus demselben Grunde).

X+ C05Db+ X+ C05= X 0+ X+ 00 B(Grunds.: Sind 2 Grössen u. s. w.) X CO= X COH

+ C0D= X+ 40B(Gleiches von Gleichem u. s. w.)

Sieht der junge Schüler auch nur einen solchen Beweis, so wird er eine Schwierigkeit finden, wo sie in Wirklichkeit gar nicht vorhanden ist. Dem Anfänger gegenüber würde ich im obigen Falle zunächst auf Voraussetzung und Behauptung ganz verzichten und dann selbst oder durch die Hand des Schülers einen Winkel, sagen wir von 30°, zeichnen lassen(+ 40 B= 30⁰); alsdann verschafft man sich dessen Scheitelwinkel, indem man beide Schenkel rückwärts verlängert.

Nun ist+ 40 B= 30°, also B00= 150 und darum+ C00 auch= 300.

Der Schüler ist erst nach und nach dahin zu bringen, mathematisch zu denken und Schlüsse zu ziehen, daher sollte die algebraische, schematische Kunstsprache anfangs möglichst vermieden werden. Aber auch dann, wenn man allmählig den Schematismus einführt, erleichtere man dem Schüler den Uberblick nach Möglichkeit. Soll bewiesen werden, dass die Winkel eines Dreiecks 43 C zusammen genommen 2 R betragen, und hat man hierzu CA verlängert(F) und den Aussenwinkel EA4B durch die zu CB durch A gezogene Parallele 40 in 2 Teile zerlegt, so wird es genügen, wenn der Lehrer an die Tafel schreibt:

X AO X BSD D4E= 2 R. 420 40½

Alles UÜbrige kann mündlich, etwa durch Fragen erledigt werden. Es bedeutet dann das Obige: Die 3 Winkel B4C, B4D und DA E geben zusammen einen Gestreckten CA= 2 R. Nun kann ich für£‿ B4D den Wechselwinkel 4B C und für DAE den Gegenwinkel A0B an die Stelle setzen, dann erhalte ich das gewünschte Ergebnis.

Nach meiner Meinung kann ein Schüler am besten zeigen, ob er sich richtige Vorstel-

lungen gebildet und den inneren Zusammenhang der mathematischen Sätze erfasst hat, wenn der Lehrer ihn in den stand setæzt, nicht etwa nur Lehrsätze und Erklärungen oder mechanisch aus- wendig gelernte Beweise hersagen und auf eine Frage eine kurze Antwort geben, sondern— wie es der Unterricht in Naturbeschreibung, Physik, Geographie, Geschichte u. s. w. gleichfalls er- strebt— über einen seinem Standpunkte entsprechenden Gegenstand einen kleinen Vortrag zu