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Elementenzahl zu bilden sucht, in denen dieselben Elemente in gleicher Anzahl auf- treten. Dies ist aber nicht möglich. Allgemein: Treten mindestens zwei Elemente
in ungerader Multiplizität auf, so ist P.= Pa= 2F.
Es sind noch die Fälle zu untersuchen, daß die Summe der Elemente= 2k+†l und außerdem ein Element in ungerader Multiplizität auftritt, oder die Summe der Elemente= 2k, wobei jedes Element in gerader Anzahl vorkommt.
In beiden Fällen gibt es eine Anzahl von sich selbst inversen Permutationen, und es läßt sich daher vermuten, daß analog der Formeln Il des Systems P(I1m, 2) die Gleichungen bestehen
1 1 Pe= 2P42O.
Ihre Bestätigung finden die Formeln auf induktivem Wege. Wir gehen von dem Systeme P0(Im, 2 ˙, 3) aus, wo m und n gerade Zahlen sind, und wählen alle Permutationen aus, an deren erster Stelle die Ziffer 3 steht. Wir unterdrücken diese und haben somit das System P(Iw, 2⁰). Von diesem kennen wir Pe und Pa. Durch Vorstellen von 3 wird die Art der Permutationen nicht geändert, aber die Zahl der Inversionen, denn auf 3 folgt eine gerade Zahl niederer Elemente. Alsdann wählen wir die Permutationen aus, die mit einer 2 beginnen. Nach Unterdrückung der ersten Ziffer 2 kennen wir P und Pa von P(Im, 22-1, 3). Durch Vorstellen von 2 wird die Art der Permutationen auch nicht geändert, denn es folgt m mal die Ziffer 1, die mit der ersten 2 nur Inversionen bilden. Ebenso verfahren wir mit den Per- mutationen, deren erste Ziffer eine 1 ist. So ergeben sich für P, und Pa des Systems P(I1m, 22, 3) die einzelnen Posten
. 1(m † y)! 4 1*!
2 mln! 2. o!
1(m †))!
2 ml(n-—l)!
1(m+ y)!..„ m †n m n Tml)im 6- ¹,» sind die größten Ganzen in 2 und*).
Addiert man diese Ausdrücke und bringt sie auf den gleichen Nenner, so
gelangt man zu — 1 Pen 1(m n †)! 1**
m!n!=2 ll
Das System P0(In, 22, 3²) lassen wir aus P(I1m 22, 3) entstehen, indem wir hinter das letzte Element aller Permutationen P(Im, 29, 3), alsdann hinter das zweit- letzte u. s. f. zuletzt hinter das erste Element die Ziffer 3 treten lassen. Dabei be- stimmen wir Pa jeder durch Einschiebung von 3 entstandenen Reihe von Permu- tationen, wobei aber diejenigen geraden Permutationen abzuzählen sind, die schon in einer vorhergehenden Reihe auftreten.
1. Stellung: Die Anzahl und Art der Permutationen ändern sich nicht; die Zahl der geraden= P(In, 22, 3).
2. Stellung: Pa(1w, 2“, 3) vermindert sich um diejenigen ungeraden Permu- tationen, bei denen 3 vor der anderen 3 eingeschoben wird, da diese schon in der 1. Stellung mitgezählt sind, also um P(1m, 25). Sie werden gerade, da 3 vor eine niedere Ziffer zu stehen kommt. Mithin ist die Zahl der geraden Permutationen in dieser Reihe P,(1m, 2, 3)— P(Im, 29).
3. Stellung: P(Im, 2, 3) nimmt ab um P0(Im, 29), weil so oft 3 vor einer niederen Ziffer und der anderen 3 auftritt und diese Permutationen somit gerade