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Die Anzahl aller Permutationen dieses Systems, die wir mit P bezeichnen

wollen, ist P=(41+ 42+.+ a)l.

at! ag!.... dn 1

8 Die Maximalzahl von Inversionen, die vorkommen kann, findet man aus der- jenigen Komplexion, in der die höheren Elemente an erster Stelle stehen und die übrigen nach ihrer Größe folgen. a möge das höchste Element sein und a mal vorkommen, ax das folgende und a, mal auftreten. Wir bezeichnen die Maximalzahl mit M. Man erkennt leicht, daß M= à.l(ag+ àg....+ 4a)+ a2(43+. 4n)+ az(4+†..+ᷓ an)+.. An-1. An ist.

Daraus ergibt sich das für das System P(In, 2“) gefundene Resultat, wenn man

d= d dn= 0 und aà= m, aa= n setzt: M=m. e n. Die Summe der Inversionen, die je zwei inverse Permutationen zusammen haben,= M. Daraus läßt sich VI(A1ãt,... aacn), die Summe aller in den Permu-

tationen dieses Systems vorkommenden Inversionen, ableiten.

Alle Permutationen lassen sich in Paare von inversen Komplexionen teilen mit Ausnahme derjenigen, die sich beim Umkehren wieder selbst liefern. Die Anzahl dieser sich selbst inversen, die wir mit O bezeichnen, ist

N*I

Wo J, p,.... die größten in Zahlen sind.

71 42 2, 2.... vorkommenden ganzen

Es lassen sich also 1(P— O) Paare inverser Komplexionen bilden. Mithin ist

2Iara,., aun)= 1 E=OM LO.'M= LPM.

Wir bestimmen noch P und Pa.

P= Pa, wenn es keine sich selbst inversen Komplexionen gibt, also alle sich in Paare inverser Permutationen zerlegen lassen, die sich zu M ergänzen Dies ist sicher der Fall, wenn die Anzahl aller Elemente, mit ihrer Multiplizität in Rech- nung gezogen, gerade ist und außerdem ein Element in ungerader Multiplizität vor- kommt. Es muß dann natürlich noch ein zweites Element in ungerader Anzahl auftreten. Es läßt sich auch aus einem anderen Grunde erkennen, daß dann P.= Pa ist. Treten unter allen Elementen 2, 2.3= 6, 2.5= 10,.... Elemente in ungerader Multiplizität auf, so wird M ungerade, wie die Formel für M ergibt. Also können sich nur eine gerade und eine ungerade Komplexion zu M ergänzen. Aber auch bei 2. 2= 4, 2 4= 8,... Flementen in ungerader Multiplizität ist P.= Pa. Nimmt man nämlich an, daß zwei Elemente nur einfach auftreten, so lassen sich beide in allen Permutationen vertauschen, wobei eine gerade Komplexion in eine ungerade und umgekehrt übergeht Dies ist aber nur möglich, wenn die Anzahl aller Per- mutationen mit einer geraden Zahl von Inversionen gleich derjenigen ist mit einer ungeraden Anzahl von Inversionen

Ferner lassen sich alle Permutationen in Paare inverser Komplexionen zer- legen, wenn die Anzahl aller Elemente ungerade ist und außerdem zwei Elemente in ungerader Multiplizität vorkommen Natürlich muß dann noch ein drittes Element in ungerader Anzahl auftreten. Leicht läßt sich erkennen, daß für beide Fälle: dl f... 4n= 2k oder 2k+l und zwei Elemente in ungerader Multiplizität es keine sich selbst inversen Permutationen gibt, wenn man zwei Permutationen mit der halben