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Die Anzahl aller Inversionen, die in den Permutationen P(Im, 2“) vorkommen, ist festzustellen.

Zu jeder Permutation gehört eine inverse; beide haben zusammen die Maximalzahl von Inversionen=m.n Man bildet nun alle Paare inverser Permu- tationen und multipliziert sie mit m. n. Es ist aber folgendes zu beachten. Es tritt eine Reihe von Permutationen auf, die beim Umkehren sich selbst liefern. Ihre An-

zahl ist(9) Die Summe der Inversionen der sich selbst inversen Permutationen

mn/*.:. ist—(*). So ergibt sich die Summe

ee- de t')=Clrn 3)en=3e'ere

Mit Hilfe der gefundenen Formeln lassen sich jolgende Tabellen für P(1, 25) Pu(Im, 2 ²) und v I(1u, 2n) aufstellen.

I P«(1, 29) m 1 2 3 4 5 n= 1 1 2 2 3 3 2 2 4 6 9 12 3 2 6 10 19 28 4 3 9 19 38 66 5 3 12 28 66 126

II P.(1, 22) m= 1 2 3 4 5 n= 1 1 1 2 2 3 2 1 2 4 6 9 3 2 4 10 16 28 4 V 2 6 16 32 60 5 3 9 28 60 126

III 2 I(1m, 29) m= 1 2 3 4 5 n= 1 1 3 6 10 15 2 V 3 12 30 60 105 3 6 30 90 210 420 4 10 60 210 560 1260 5 15 105 420 1260 3150

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In diesem Abschnitte wollen wir uns mit einigen bei dem System P(aiat, a?a?,.... Ancn) vorkommenden Verhältnissen beschäftigen. Das Systern P(1, 23) ist nur ein spezieller Fall davon.