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II. m= 2⸗+ 1. Die Maximalzahl von Inversionen, die vorkommen kann, ist 3m, also eine ungerade Zahl. Alle Permutationen lassen sich in Paare inverser Per- mutationen zerlegen. Es gibt keine, die sich beim Umkehren selbst liefert, also sich selbst invers ist. Denn zwei inverse Permutationen ergänzen sich stets zu 3m, und die sich selbst inversen Komplexionen ergeben zweimal genommen die Maximalzahl. Eine solche hat also immer soviel Inversionen, als die fälfte dieser Zahl beträgt. Das wäre in diesem Falle, da 3m ungerade ist, eine gebrochene Zahl. In jedem Paare inverser Permutationen muß eine gerade, die andere ungerade sein.

Also ist Pe(127¼1, 23)= P.(1²7¼1, 2³)= 1(2. 3 ¹).

Um Pe und P des Systems P(1w, 2⁴) zu finden, könnte man sie auf den Fall P(Iw, 2³) zurückführen, also erst die Ziffer 2 an der ersten Stelle unterdrücken und Pan nach der oben gefundenen Formel bestimmen. Alsdann unterdrückt man 2 an der zweiten Stelle bei denjenigen Permutationen, an deren erster Stelle 1 steht. Durch fortgesetztes Auszählen findet man

5-= e.-1ea)⸗ II. m= 2⸗+ 1 Pn 5(2. †)* 6

Die bis jetzt gefundenen Resultate lassen sich leicht verallgemeinern. Es ergibt sich für das System P(15, 2): I. m unden sind beide ungerade.

P(1“, 2)= P.(1“, 2²)= 4(3 4. u).

II. meäunden sind beide gerade, oder eine der beiden Zahlen ist ungerade.

n.,r,= e t²-4(3)

11 9 m a. 1 ſm Pn 1 /. P.(.2)= 2 n)z(a)— wo die größte ganze Zahl in— n und„ diejenige in einem der beiden halben

Exponenten ist.

Die Formeln behalten auch ihre Gültigkeit, wenn man m unden vertauscht. Ebenso darf man die Elemente l und 2 durch die allgemeinen Zahlen an und a er- setzen, da ja die Anzahl der Inversionen einer Kompſexion sich nicht ändert.

2 menden sich selbst inversen Permutationen. Denn denkt man sich eine solche Kom- plexion in der Mitte geteilt, sodaß 2 Permutationen von der halben Elementenzahl (bei m Pn= 2k Tl: k Elemente) entstehen, so ist leicht zu erkennen, daß beide Hälften miteinander inverse Permutationen bilden. Die Möglichkeit, solche Paare

Der zweite Teil der Formel lIl. 26(4) bezeichnet die Hälfte der vorkom-

inverser Permutationen zu bilden, ist 69). wo das größte Ganze in— und p das in einem der halben Exponenten ist. Z. B. In 1112[211l sind 1112 und 2111 inverse Permutationen. Es gibt hier(3)= 4 sich selbst inverse Komplexionen.

Alle diese Permutationen eines Systems müssen auch immer von derselben Art sein.