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Es folgt demnach aus dem zweiten Keplerſchen Geſetz, daß die auf die Planeten wirkende Kraft umgekehrt proportional iſt dem Quadrat der Entfernungen des Mittelpunktes dieſer Geſtirne von dem der Sonne.

Die Stärke dieſer Kraft in Beziehung auf jeden Planeten hängt von der Größe K ab; wir beſtimmen dieſelbe mit Hülfe des 1. und 3. Keplerſchen Geſetzes.

Iſt T die Umlaufszeit des Planeten, beſchreibt er alſo in dieſer Zeit den ganzen Umfang einer Ellipſe, deren Inhalt bekanntlich ab= a.* 1—*, da b= a1— z iſt, ſo beſteht nach dem erſten Keplerſchen Geſetz die Proportion:.

ai 1eea P und nach dem dritten: 7*= m as, wo m einen für alle Planeten conſtanten

. 40* 2 1 12² Coefficienten bezeichnet; man hat daher: n aA. 1—*)=

oder: Cm= 4 12(1— ¹); daher

4, e42 1. a(1—) m e. 73

Vergleichen wir verſchiedene ſolcher beſchleunigenden Kräfte miteinander, welche auf verſchiedene Planeten in derſelben Entfernung wirken, ſo iſt nach der letzten Formel die Kraft, welche in der Einheit

2 2/13 der Entfernung vom Mittelpunkt der Sonne wirkt= ter 5 42n Da aber, wie erwähnt, das 3 6-„.—-..

Verhältnis 7 bei allen Planeten dasſelbe iſt, ſo iſt die Kraft, welche auf die Einheit der Maſſe eines

Planeten in der Richtung nach dem Sonnenmittelpunkte wirkt, immer dieſelbe in gleicher Entfernung von dem letzteren, und ſie iſt der Maſſe, worauf ſie wirkt, proportional und ändert ſich mit dem umgekehrten Quadrat der Entfernung. Die auf die Maſſe M wirkende Kraft würde ſein:

K

A 42 1 4 1⁴³3 1 MqC— M. 72— M.. 72— NM.— r. 2 Für einen im Kreiſe ſich bewegenden Körper, wo die Entſernung vom Centrum immer dieſelbe, 2 alſo a= r iſt, folgt: Mp= M. 2

In einer Kreisbahn iſt nun die Bewegung eine gleichförmige. Iſt alſo die Geſchwindigkeit v, und durchläuft der Körper in der Zeit T die Bahn 2a, ſo legt er in der Zeit T= 2 n zurück, 5„2². alſo iſt ½=— ſetzen wir dies in die letzte Gleichung ein, ſo folgt: Mo= T= Centripetal⸗ kraft. Dies iſt aber derſelbe Ausdruck, welchen wir durch unſere Betrachtungen in§ 2 aufgeſtellt haben. Der hier gefundene Ausdruck für„ iſt alſo diejenige Beſchleunigung, welche ein Körper auf irgend einem Punkte ſeiner Bahn in Bezug auf die Maſſeneinheit ausübt. Iſt die Maſſe M, ſo iſt jene Mof. Wir fanden nun in§ 4, Gleichung(38), daß die Bahn eine Ellipſe ſei, falls:*— iſt. 2 K.. 25. 3 Mn: di4. Nun iſt K die Beſchleu⸗

2 2 7„3 nigung in der Einheit der Entfernung: K= B, und die in beliebiger Entfernung= Pener. Alſo K= 11 9%. Dieſen Wert für K eingeſetzt liefert: ½ Mo*= Mo. r; d. h.: Iſt die Bahn des Körpers eine Ellipſe, ſo iſt die lebendige Kraft des bewegten Körpers kleiner als das Product des Abſtandes vom Centrum mit der Anziehung; und umgekehrt.

Bei der Hyperbel kehrt ſich das Verhältnis um. Sind beide gleich, ſo entſteht als Bahn eine Parabel.

Beide Seiten mit M multipliciert ergiebt: Mrr=— M.