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zu betrachten iſt. Multiplicieren wir die erſte dieſer Gleichungen mit y, die zweite mit a, ſo folgt durch Subtraction: 2=e Wr= æIV—„X oder: de,— gdeæ=(·7Y—„X) dtz oder: d(ν —„ dr)=(xα—„X) dte. ad'’,—„dæ iſt aber nach§. 3 Gleichung(8) das Doppelte der vom Radius vector in der Zeit t um die Sonne beſchriebenen Fläche, welche nach dem 1. Keplerſchen Geſetze

der Zeit proportional iſt; es iſt alſo: ſa dr—„ dr)= M. t, woraus folgt: æ d,,)„ dr= a. dt und durch nochmalige Differentiation: r dr,—„dr= 0, da dt conſtant iſt; d. h.—„X= o.

Aus dieſer Gleichung folgt ſofort, daß die Reſultante der Kräfte X, J nach dem Coordinaten⸗ anfange, d. h. nach dem Sonnenmittelpunkte hin wirkt. Das erſte Keplerſche Geſetz liefert daher in ſeiner Umkehrung den Satz: Die Kraft, welche den Planeten treibt, iſt nach dem Sonnen⸗ mittelpunkte hin gerichtet.

Wir wollen jetzt die Größe dieſer Kraft kennen lernen, indem wir nach dem eben gefundenen Satze berückſichtigen, daß die Kräfte im negativen Sinn der Axe wirken, alſo daß wir— X und— P ſtatt X und F zu ſetzen haben.

Multiplicieren wir die Bewegungsgleichungen: dex † X dt½= 0; de«r+ Vdt²= 0 mit dæ bezw. mit A“, ſo folgt durch Addition: dær deꝝ+ d d+(Xdrꝝr+ Fdy) dd= 0 oder:

da deæ der t dy dey= IAd(d'æs d'xg) und dt= tig Ve i

æ2(dæꝛ+ d,,²)

Edys—„dr)* der⁊— doe= re due † dra; æ dyr— der= ra du: X= f cos u I= G. sin(ꝙ die Centripetal⸗ kraft) iſt, folgt: X dr-ͥ Vd,= qAr; und aus unſerer Gleichung wird:

G(† duoẽ+ dAr. ꝗqr iee ²) 2 ſoa-— 9; d. h.*(un„ua] 5+ 2ſwar= 5.

2 2

Differentiiert:&= 3— 29 d 5. 1+ e coοs(.— 9) a 1— 2**)

Excentricität und 9 der Winkel, den die große Axe mit der æ Axe bildet. Da nun der Planet nach dem 2. Keplerſchen Geſetz eine Ellipſe beſchreibt, ſo ſetzen wir in die erhaltene Gleichung die aus dieſer Gleichung reſultierenden Werte von und Ar ein. Durch Differen⸗

t, ſo folgt durch Integration:

2(Xdr Vdp„)= o. Unter Benutzung der Polarcoordinaten, wonach:

Die Polargleichung der Ellipſe hat die Form: 2=„wo e die numeriſche

dr e sin(u— 9). a(1— e²). 4 =—— 9)—— l iſt, ſo iſt 8 tiation folgt:— S 7(1= Ah; da aber e os(u³ 9) 7 iſt, ſ 3 14 3 2— ²)² 1—— e („— 9)=*²— ex cose(u— 9)= 62— 2 5. 1 2+ 22,1. 5— 1; 6 13103„ 9)= 2411—— 4-(1— e*)*); folgli( 2,)= nnſ(1=): folglich: ridu) ar(1— e¹*) a*(1—*²) ;e a 2 2 dr 2 dr Das Differential hiervon iſt: d(3—== zan„3.

A G² 62 /1 1— 2 Dieſe Werte ſubſtituiert liefert:= 74— 2, 65 7(1Le 2 dr= 73— 7 8* a(1— ee 1 2 2

— 4. Setzt man den conſtanten Ausdruck— 8 2(1— e*²)

O— 2(1— 22.„2— K, ſo folgt 7—

4*