— 26— Die Geſchwindigkeit in irgend einem Punkte iſt, wie vorher entwickelt:„= V2+ K(a*— 7*). . T, Am Ende der großen Axe, wo= a, iſt alſo die Geſchwindigkeit V; für= b= ¶ iſt die Ge⸗

V K ſchwindigkeit am Ende der kleinen Axe= a K.

Zur Entſcheidung, welches die größte oder kleinſte Geſchwindigkeit ſei, benutzen wir die Gleichung (14) v= oder„=— Nun iſt bei der Ellipſe das vom Centrum auf die Tangente am Punkte

(x, 9) gefällte Perpendikel:.Es iſt alſo p am kleinſten, wenn= o, am

5— V at— æ*(a— 2¹) größten, wenn ½= à iſt; da nun p= gif iſt, ſo iſt die größte Geſchwindigkeit= a K am Ende der kleinen Axe, die kleinſte Geſchwindigkeit= F am Ende der großen Axe.

C— r(.*— 5) 17. 7. Da=„= u. 5 9 und O= a y und= iſt, ſo folgt durch Subſtitution

dieſer Werte: Die Geſchwindigkeit in irgend einem Punkte iſt:= a K— x(X— 7) Beſtimmung der Umlaufszeit. Da bei jeder Lentralbewegun die Flächen den zu ihrem

Durchlaufen gebrauchten Zeiten proportional ſind, ferner 0= 2 der in der Zeiteinheit beſchriebene Sector iſt und die Fläche der Ellipſe Q½ iſt, ſo ſteht die zum Durchlaufen derſelben erforderliche Zeit! in folgender Proportion:

! 1.1— 6 r„,—— daher iſt die Zeit für einen ganzen Umlauf 1= 2. y.

5 1. 2 7 E= F̃E. ſo iſt 4= FR

Aus der Unabhängigkeit dieſer Zeit von den Größen a, 5 und PF ſchließen wir, daß mehrere Körper ihre Ellipſen um den nämlichen Attractionspunkt in einerlei Zeit beſchreiben.—

Auch die Wurfbewegung iſt ſtreng genommen eine Centralbewegung, da die Ablenkung, welche ein ſeitwärts geworfener Körper durch die Schwere erfährt, durch eine Kraft bewirkt wird, die denſelben ſtets nach demſelben Punkte, dem Mittelpunkte der Erde, hinzieht. Die Geſetze derſelben laſſen ſich daher nach§. 4 leicht herleiten. Da indeſſen die Richtungen der Schwere in verſchiedenen Punkten der Bahnen als unter ſich parallel betrachtet werden können, ſo pflegt man die Wurſbewegung als eine beſondere(eweun ßden zu betrachten.

Cs ſei noch bemerkt, daß ein Körper eine Spiralbewegung einſchlagen muß, wenn die Centripetalkraft im umgekehrten Cubus der Entfernung wirkt.

Da nun

§. 6. Beſtimmung der Centripetalkraft aus den„Keplerſchen Geſetzen“.

Die im§. 4 durch Rechnung hergeleiteten Keplerſchen Geſetze ſind folgende:

1) Die von den Radien vectoren der Planeten um den Mittelpunkt der Sonne beſchriebenen Flächen ſind den zu ihrer Beſchreibung gebrauchten Zeiten proportioniert.

2) Die Planetenbahnen ſind Ellipſen, in deren einem Brennpunkt der Mittelpunkt der Sonne liegt.

3) Die Quadrate der Umlaufszeiten der Planeten verhalten ſich wie die Cuben der großen Halbaxen ihrer Bahnen.

Es ſeien(Fig. 16) x,„ die Coordinaten an irgend einem Punkte des Planeten M, X, V die den entſprechenden Axen parallelen Kräfte, durch deren Wirkung die vorliegende Bahn beſchrieben wird.

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2 Die Bewegungsgleichungen werden alsdann ſein: ne= X; 2= J, wobei Ät als conſtant