— 20—

Die Übereinſtimmung der beiden Gleichungen(18) und(19) ſagt alſo aus: Unter den gemachten Vorausſetzungen wird die Geſchwindigkeit des zweiten bewegten Körpers für denſelben Abſtand vom Centrum dieſelbe wie die des erſten ſein, falls nur beide einmal einerlei Geſchwindigkeit bei gleichen Ent⸗ fernungen gehabt haben; denn dann iſt a=*. Dieſes beſagt die von Newton aufgeſtellte Propoſition.

Die Gleichung(18) ſoll uns ſogleich dazu dienen, die Bahn des Körpers beſtimmen zu können. Nach den Gleichungen(79) iſt: dre+ dge= r d+ dAre; aus Gleichung(18) folgt hiermit:

dre+ d„=— 2(p+ a) ate; alſo auch: 1 dre=— 2(+ a) Al?;

außerdem iſt nach Gleichung(8): ϑdh4)=(ll, mithin dl1?= 7. 1 Dieſen Wert von Ale in die vorletzte Gleichung ſubſtituiert, liefert: Car 21. Car —,. e= S ro welches Integral, da die Variabeln geſondert ſind, ſich wird integrieren laſſen und ſo die Bahn des Körpers vorſtellen wird. Wächſt„ mit? zugleich, ſo hat man das poſitive Vorzeichen der Wurzel zu wählen, anderen Falls das negative. 9% vertritt hier die aus den Anfangselementen zu beſtimmende Conſtante.

Weiterhin wird es von Intereſſe ſein, den Ort des bewegten Körpers in jedem Augenblicke an⸗

geben zu können. Dieſes ermöglicht uns ſofort die Gleichung(8⁰), wonach iſt:

2 d=(at, alſo: dt= 2 29.

(20).

C Nun iſt nach Gleichung(20) do als Function von 7 Keiant womit ſich ergiebt: 22 rdr 23 rdlr (22)... 4S...4 p 2 1(+)—(2.

Dieſelbe Bemerkung über das doppelte Vorzeichen der Wurzel gilt auch hier, und to iſt die aus den Anfangselementen zu beſtimmende Conſtante.

Aus der Gleichung(18) mit Hülfe der Gleichung(22) gelingt es uns ferner leicht einen Aus⸗ druck für die Länge der zurückgelegten Bahn als Function vom Radius vector aufzuſtellen. Nach Gleichung(18) iſt=— 2(+ a); da nun„= ſo iſt: ds=— 2(ꝗ)+ wc) dt; und noch aus Gleichung(22) den Wert für At ſubſtituiert, liefert:

(24) Ads—— 64 3; oder: 25)... 5.— so= ſie⸗

ds dt

V— 2712(.)— V2ra(+&ᷣσ)/—O+O+Oſ0*

Indem hiermit die für jede Centralbewegung gültige Lehre erſchöpft ſein dürfte, ſo wollen wir jetzt zu ſpeciellen Fällen übergehen, nämlich wir wollen die Abhängigkeit der Centripetalkraft Pvom Radius vector„ unter einer beſtimmten Form als gegeben annehmen.

§. 4. Die Centralbewegung, für welche die Centripetalkraft dem Quadrat der Entfernung umgekehrt proportioniert iſt.

Nachdem Kepler die drei Geſetze der Planetenbewegung, welche zu beſprechen wir in dieſem§. Gelegenheit nehmen werden, mit der größten Ausdauer durch lange und genau verglichene Beobachtungen entdeckt hatte, war es Newton, der aus ihnen die Folgerung zog, welche man den Grundſtein der Aſtronomie, Phyſik und Mechanik nennen kann. Er fand zunächſt, daß die Beſchleunigung, alſo die Centripetalkraft, bei den Planetenbewegungen umgekehrt proportional ſein müſſe dem Quadrate des