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Alle Radien vectoren wie 00, welche außerhalb des Kreiſes liegen, ſind größer als Ok, folglich auch die mittleren Geſchwindigkeiten größer als die wahren, oder die wahren kleiner, und ſie nehmen deſto ſchneller ab, je offener der krummlinige Winkel MO iſt.

Auf dem Teil der Bahn, welcher innerhalb des Kreiſes liegt, iſt es umgekehrt, da alle Radien vectoren kleiner als O ſind, folglich alle Winkelgeſchwindigkeiten größer als die mittleren; es nehmen die Radien vectoren auf der Strecke von M nach P um ſo mehr ab und die Winkelgeſchwindigkeiten um ſo mehr zu, je offener der Winkel Pll7 iſt.

Dieſer Beweis gilt alſo ſtreng genommen nur dann, wenn die Zeit und die Bogenelemente 90 und„. als unendlich klein angenommen werden.

Knüpfen wir jetzt noch einmal an die bereits im Anfange dieſes§ gefundenen Reſultate an, um zunächſt noch den Satz herzuleiten, welchen Newton in ſeinen„principia mathematica“ als die 40. Propoſition in der VIII. Section aufgeſtellt hat.

Multipliciert man die erſte der Gleichungen(3) mit Ar, die zweite mit% ſo folgt durch Addition:

dæ deæ+ d dag P — n—2(æder+„p). Nun folgt aber aus den Gleichungen(7): æ der=— r cos ꝙ sin do † r cose dr

„drhy= à os& sin q do † r sins dr mithin: rder Ydh=(sinꝰ † cos²—) rdr= rdar; alſo: dr deæ dy, d2„

7545— Plr. Durch Integration folgt: ſa dr †[as 6,=— ſrar, oder: ſect) ſaa3)— ſee d. h. 2 er)+ 2(ay)=— ſrer oder;(16). 2 G Pur.

Die Centripetalkraft P ändert ſich nun, wie wir bemerkten, mit dem Abſtande vom Centrum; es iſt alſo P eine Function von ꝛ, die bei den ſpeciellen Unterſuchungen immer bekannt iſt, und das

Integral Pur iſt leicht zu finden: Setzen wir:(17)... ſrr= V+ a, wo a die willkürliche Con⸗ ſtante bezeichnet; hiermit wird:

2 2 1er= e 2=— 2(w † a), oder, da 2*. d9*= As, 18 ² dIS 7=— 2(%+ a), und, da 7,= v:(18)..„=— 2(+ a).

Dieſe Gleichung drückt das„Princip der lebendigen Kräfte“ aus, woraus wir ſchließen,

daß für jede Centralbewegung dieſes Princip Gültigkeit hat. Die Conſtante«, welche von der Wurfskraft oder von der Geſchwindigkeit in einem beſtimmten

Punkte der Bahn abhängt, iſt immer aus dieſen Größen zu beſtimmen.

. Denken wir uns auf irgend einer andern Bahn einen zweiten bewegten Körper, welcher von derſelben Kraft P gegen dasſelbe Centrum gezogen wird, ſo iſt das Geſetz ſeiner geradlinigen Bewegung für die Maſſeneinheit ausgedrückt durch: vdo= Pls, für die Centralbewegung muß nun Is=— gr ſein; alſo ergiebt ſich: edr=— Par, oder:(19)..“=— 2(+ ¹). . 3*