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Es ſeien(Fig. 9) bei A beide Geſchwindigkeiten einander gleich und zwar gleich m—; bei B ſei die wahre Winkelgeſchwindigkeit gleich, ſo iſt nach Satz 5: 082: O4²2= m: oder d 72=„ 0, womit unſer Satz bewieſen iſt.

Da nun die mittlere Winkelgeſchwindigkeit auch durch m= 300 ausgedrückt werden kann, ſo folgt noch: 360 d= r /=, l. 0 woraus man ſtets den Radius vector d finden kann, wenn man nur die Zeit des ganzen Umlaufs, den Radius vector und die dem Radius I zugehörende wahre Winkelgeſchwindigkeit kennt.

Zugleich erhellt aus dieſer Gleichung, daß man durch willkürliche Annahme des Radius vector?, oder wenn derſelbe bekannt iſt, leicht die Geſtalt der Bahn finden kann.

8) Bildet die Bahn eine geſchloſſene Curve und denkt man ſich aus dem Kraftpunkt einen dem von jener Curve begrenzten Flächenſtück an Inhalt gleichen Kreis beſchrieben, ſo iſt an den Durchſchnitts⸗ punkten beider Curven die wahre Winkelgeſchwindigkeit der mittleren gleich; ſie weichen um ſo ſchneller von einander ab, je ſchiefer der Durchſchnitt geſchieht.

Ein Körper beſchreibe um den Kraftpunkt O die geſchloſſene Bahn(Fig. 10) Pll NP'; zugleich denken wir uns einen anderen, welcher in der nämlichen Zeit den Kreis MNI beſchreibt, deſſen Fläche jener Fläche der Bahn gleich iſt, und zwar ſo, daß ſie beide ihren Umlauf zugleich beginnen und beenden.

Aus der Folgerung des 4. Satzes iſt bereits bekannt, daß die Bewegung im Kreiſe eine gleich⸗ förmige iſt. Wird der Umlauf des Körpers daher in? Stunden vollendet, ſo iſt die Winkelgeſchwindigkeit

in 1 Stunde 4 welches zugleich auch die mittlere Geſchwindigkeit des Körpers in der gegebenen Bahn iſt.

Durchläuft nun der Körper in der Bahn in einer Stunde oder in der Zeiteinheit ein ſehr kleines Bogenelement 90, und der Körper im Kreiſe während derſelben Zeit das Bogenelement 7 R, ſo müſſen die Sectoren Og G und Or R unter den poſtulierten Bedingungen einander gleich ſein. Denn, da in gleichen Zeiten vom Radius vector gleiche Sectoren beſchrieben werden und die Sectoren Og G und Or R in einer Stunde beſchrieben werden, müſſen die folgenden in allen übrigen Stunden beſchrieben auch gleich ſein. Da nun die Bewegung! Stunden dauert, ſo beſteht beiderſeits die ganze Bahn aus Sectoren oder jeder dieſer Sectoren iſt der ſte Teil der ganzen Bahn; nach der Vorausſetzung ſind die ganzen Flächen der Bahnen gleich; mithin auch ihre ſten Teile.

Bezeichnen wir den Winkel»ON mit„, den Winkel gO mit ſo iſt der Inhalt jener Sectoren, die wir wegen der ſehr kleinen Größe von gG und. als Differentialien anzuſehen haben: Orèdo und † 002 1. Da dieſe beiden Ausdrücke gleich ſein müſſen, ſo folgt:

2 Ori d= 2002 d; Oredo= 00ν ⅞ν. Auf beiden Seiten mit A dividiert, folgt: 2 19„, 2 TF Or,— 06 A,

2 Da nun die Größen A. dy die Winkelgeſchwindigkeit in den entſprechenden Bahnen ausdrücken,

di dt 272 ſo iſt Or. oꝙꝓ☛☚‿☛ 002*oder: 2— 955 ¹ iſt als Winkelgeſchwindigkeit des Körpers in der Kreis⸗ 360 0²

. ½ 360 1’ bahn, wie wir gezeigt haben, gleich: mithin: 9

Für jeden Durchſchnitt der beiden Bahnen wird nun OC= ON= OM= 0N woraus folgt:

= 360 Hiermit iſt der erſte Teil unſeres Satzes bewieſen. Aus der Proportion auf voriger Seite: 360 2 2 4. 96ο— folgt aber ſogleich der zweite Teil: