— 14— Wenn man den Bruch p:(.— pd) mit— pd erweitert, so findet man als Nenner das Produkt

(Fi— pd)(e— pd)= Ei e— pd(ki+ 12)+† rd=— pA(r— p)(p— O.

Die Gleichung der Geraden h kann daher auch in einer der folgenden Formen geschrieben werden a.()— r) CE— pch= O0, k-Xa(1—)— d.Xap(4— r)= O. Aus der letzten Form geht hervor, dafs die beiden Geraden h und h’ dem Büschel

Aa(d—r)= 0, Nap C 7)= O angehören, dessen Scheitelpunkt im Schwerpunkt E liegt.

20. Es soll nun nachgewiesen werden, dafs die Geraden h und h' konjugierte Durch- messer des Kegelschnittes bestimmen, der den Schwerpunkt E zum Mittelpunkt hat und die Seiten des Dreiecks in den Punkten Ea, Ez, Ee, berührt. Auf dem in 3. angegebenen Wege findet man als Gleichung dieser Kurve

22+† †f.„— 26p— 2„pa— 26=⸗ 0. Wenn man die Gleichungen der Geraden h und h’ mit einander multipliciert, so findet man als Koöfficienten von α den Ausdruck— pd(7— 7)“(r— p)(p— D); der Koöfficient von„

wird gleich (r— v) b)PP O[G— 2) Ce— 1d)+(kr— 14)(Ke— gd)l, wofür man schliefslich— 2 d(¶— r)?(r— p)(p—%) findet. Die Gleichung der beiden Geraden heiſst daher Narp(d— 1)+† 2 NGp(ù—7)= O.

Um zu zeigen, dafs diese Geraden konjugierte Durchmesser des gegebenen Kegelschnitts bestimmen, berechnet man zunächst die Subdeterminanten in der Determinante desselben und findet 4= B= C= 0, F= G= H= 2. Die Funktion Aa+†ñ Bb+ Cer+ 2 Ff+‿ 26+‿ 2 Hh wird daher gleich 4 Np(¶— r), einem Ausdruck, der identisch verschwindet. Damit ist die aufgestellte Behauptung erwiesen.

21. Als Gleichung der Geraden B““ findet man im znis meinen Fall, wenn K alle Werte von 0 bis od durchläuft,

æ k— pg L rp

6 772 k— r=O. 7 k— r rr“

Wenn man die Determinante entwickelt, so erhält man a(pꝗrd+ 2 ½ gr— ꝛ)+†(pgrd— 2 brr’'+ ²)+ p(pardâ— 2 ½ 29˙+)= O. Wird die Gleichung nach Potenzen von K geordnet, so ergiebt sich k²(6+„— a)— 2 ½(Grr+† p14+— agr)+ pgrâ(+ G+)= O. Die Enveloppe der Geraden B“ C“ wird demnach durch die Gleichung gegeben (srr' †+ v7a— adr)“— pgrdâ(+ 6+ p)(6+ 7—)= O.

Sie ist eine Parabel, da sie die unendlich ferne Gerade als Tangente hat, berührt aber auch die Gerade 6+‿—= 0, die durch die Punkte E, und Eo geht. Die Richtung der Achse