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wird durch die Gleichung Brr+„pã2 9—.ᷣ= O0 bestimmt. Wenn man die gefundene Gleichung entwickelt, so erhält man

azgrg'r“+(rer— pgrd)+† p(.ν— pgrd)+ 28p †— 2„ æerg’— 2aßgrer= O.

Als Enveloppen der Geraden C“A“ und 4“ ergeben sich zwei andere Parabeln, deren Gleichungen aus der hier aufgestellten durch cyklische Vertauschung der Buchstaben Ʒ, 6,„ einerseits und p, g, r andererseits gefunden werden.— Die für den allgemeinen Wert k er- mittelten Resultate gelten selbstverständlich auch für die besonderen Werte ki und ½; dem- nach sind die in 18. bestimmten Geraden h und" gemeinsame Tangenten der drei vorhin aufgestellten Parabeln.

22. Die Gleichungen der Geraden 44“, BB“, CC“ lauten der Reihe nach 6— rp)= p(K— po), v(K— p)=(k— 9r), AdK— gr)= 6— 1p). Für das Kollineationscentrum der Dreiecke A C und 4“0“ ist demnach a(k— gr)= 6 G— 1p)=?— pS). Wenn man aus den Gleichungen k(a— 6)= agr— grp, k(6— p)= Brp— pp den Faktor k eliminiert, so erhält man als Ort des Kollineationscentrums den Kegelschnitt 6yp(=)+ vτ— p) Taßr o— 9=0.

Er enthält die Eckpunkte des Dreiecks 4 C, die Punkte E und P sowie die Punkte mit den Koordinaten pq'r“: gr p“: rp'g'“ und grq'r'“: rprp“: pqp'g'“. Für seinen Mittelpunkt findet man K:B:P= E— r): R(r— p)':**(p— 9).

Wie sich leicht nachweisen läſst, ist die Polare des Punktes pp“: ç.a:ꝛ:T/ in Bezug auf diesen

Kegelschnitt die Verbindungslinie der Punkte pPqhr und p:Q“: /*.

23. Wenn die Geraden h und h’ zu einander senkrecht sind, so müssen die Kobfficienten der Gleichung Nap(71— r)+ 2 2ͤBpp(C)b— r)= O die in 12. aufgestellte Bedingungs- gleichung erfüllen. Man findet als solche zunächst

Nasp(7—)— 2 p()— 1) be cos 4= 0. Wenn man 25 cos A durch b2+†— a* ersetzt und dann nach den Quadraten der Seiten ordnet, so erhält man die Gleichung Na*p(¶— r)= O. Es schliefsen also die Geraden h und" einen rechten Winkel ein, wenn der Punkt P auf dem Kegelschnitt mit der Gleichung a(6— p) a= O oder YSp(b2—)= 0 liegt. Es ist die Kiepertsche Hyperbel, die durch die Eckpunkte des Dreiecks, durch den Schwerpunkt E, den Höhenschnittpunkt H’ und den Tarryschen Punkt geht, für den a[ꝗ+ G⁴— a*(bz+))= B[c⁴+‿— 2(ᷣ†+)]= p[a*+ 5⁴—*(a*+†= ⁵ꝛ)]

ist. Da für jeden Punkt dieser Hyperbel die Geraden h und h’ die Achsen des in 20. be- stimmten Kegelschnittes Naν— 2 Sp= O sind, der selbst von der Lage des Punktes P unabhängig ist, so müssen diese Geraden für einen jeden Punkt der Hyperbel dieselben sein.

24. Wenn P in den Höhenschnittpunkt gelegt wird, so ist p: 7:T= tan A: tan B: tan C