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In der letzten Form ist der Brocardsche Winkel, der mit den Winkeln des Dreiecks durch die Gleichung

cot= cot A+ cot B+ cot C

verbunden ist. Aus der ersten Gleichung geht hervor, dass neben BC die Gerade 6 tan B+ y tan C— tan 4= 0, welche die Fufspunkte der von B und C ausgehenden Ecktransversalen verbindet, eine Tangente der Parabel ist; die zweite Gleichung läſst die durch B und C gezogenen Ecktransversalen selbst als Tangenten erkennen; nach der dritten Gleichung

berühren die Geraden G. Isin 20+ pVsin 25= 0 die angegebene Kurve. Die Konstruktion des Punktes mit den Koordinaten

sin 2 4: Vsin 2 B: Vsin 20, durch den die genannten Geraden gehen, findet sich in der Abhandlung von Vigarié„géométrie

du triangle“(Journal de mathématiques spéciales 1888).

17. Die Gleichung der Kollineationsachse der Dreiecke 4 B C und 4A”/C“ heilſst unter der gemachten Voraussetzung

Xa: sin A(sin B. sin C. cos A— k. sin A)= 0. Die Enveloppe dieser Achse ist die Parabel Nar. sin 4². sin(B— C)2— 2 Nßy sin B. sin C. sin(C— A) sin(A— B)= O, die die Harmonikale des gegebenen Punktes und die des Grebeschen Punktes K berührt. Ihre Leitlinie ist die Gerade Næ. cos 4. sin(B— C)= 0; sie enthält die Punkte E, H', H und den Punkt mit den Koordinaten sin A2. tan A: sin Be. tan B: sin C. tan C, ist also die Eulersche Gerade.(H ist der Mittelpunkt des umgeschriebenen Kreises.) Der Brennpunkt der Parabel hat die Koordinaten sin 4A Ssin B. sin C e e eee sin G— C) sin(C— A) sin(A— B) 52— 2c— a— d:

II.

18. Wenn man die Mitten der Seiten des Dreiecks 43 O der Reihe nach mit den Mitten der Ecktransversalen A P,, BP,, CP. verbindet, so erhält man als Schnittpunkt dieser drei Verbindungslinien den schon in 2. erwähnten Punkt K, für den α::= pp':-9': rr ist. Dieser Punkt fällt mit dem Grebeschen Punkt zusammen, wenn unter P der Höhenschnitt- punkt verstanden wird. Zieht man nun auch durch die Mitten der Seiten, die mit Ea, TIa, E. bezeichnet werden sollen, zu den Ecktransversalen 4 P,, B Pa, CP. die Parallelen und bestimmt auf der ersten einen Punkt A“, für den«= k’pp' ist(wo unter ½ ein konstanter Faktor ver- standen werden soll), auf der zweiten einen Punkt B“, für den.= K'gg“ ist, und auf der dritten einen Punkt G“, für den= K'rr' ist, so kann wie in 1. zunächst die Padingung ge- sucht werden, unter ger diese drei Punkte in einer Geraden liegen.

Die Gleichung der durch Ea gezogenen Parallelen lautet

4 Oß).(6—)= 0; zur Bestimmung der Koordinaten 6G und„ des Punktes A“ ergeben sich daher die Gleichungen 6—-=— b(d— r), 6+†y= d— L pp;