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15. Wenn unter P der Höhenschnittpunkt H“ verstanden wird, so heifst die Gleichung der

Kollineationsachse der Dreiecke 4 B 0 und 4 B/˙ Na: sin A(cos B. cos C— K. cos A)= 0.

Als Enveloppe dieser Geraden findet man

Nal. cos 42. sin(B— C)— 2 NBpy cos B. cos C. sin(C— 4A) sin(4— B)= O. Die hierdurch gegebene Parabel berührt die Seiten des Dreiecks 4 B C und die Harmonikalen der Punkte H’ und H, des Höhenschnittpunktes und des Mittelpunktes des umgeschriebenen Kreises. Ihre Leitlinie hat die Gleichung

Da cos 4². sin(B— C): sin A4= 0

und enthält die Punkte H'’ und K, den Höhenschnittpunkt und den Grebeschen Punkt, sowie auch die Punkte mit den Koordinaten tan A²: tan B: tan C und sin A2 tan A2: sin B. tan B: sin Cz. tan C² Als Koordinaten des Brennpunktes findet man

sin 4 tan 4 sin B tan B sin C tan C sin(B— O) sin(— 4) sin(4— B)

16. Legt man den Punkt P in den Seitengegenpunkt des Höhenschnittpunktes, einen Punkt auf der Geraden EK, so ist p: q: † ⸗=σcot A: cot B: cot C zu setzen; man erhält für k. die auch in 13. gefundene Gleichung ²—+ 2 ⸗cos 4 cos B. cos C= O.

Als Gleichung der Geraden g ergiebt sich

Na(cos 4 sin B. sin C— K. sin A²). sin(B— C): cos 4= O. Der Schnittpunkt der Geraden g und g“ hat die Koordinaten sin 2 4: sin 2: sin 20, ist also der Mittelpunkt des umgeschriebenen Kreises; er ist zugleich der Mittelpunkt des dem Dreieck eingeschriebenen Kegelschnitts

Nar. tan 4A— 2 Nßp tan B. tan C= O0.

Seine Achsen g und g“ sind durch die Gleichung gegeben

Nal. cos B. cos C. sin(B— C)+† Bp cos A. sin(B— C)= O0. Die Enveloppe der Geraden B/0“ ist die Parabel

41. tan A2+. S*. n e tan B. tan 0+ p2. r. tan B. tan C+ 26 p tan B. tan C

— 4 pa tan C. tan 4— 4 tan 4 tan B= 0. Diese Gleichung kann auch geschrieben werden

sin C sin B (6- as † V si 0

( sin C sin B 6 in 2 sm C

). tan B. tan C— 4 tan A(6 tan B+ tan C— tan A)= 0,

ein n). tan B. tan C— 4(p tan C— α. tan A)(a. tan— 6. tan B)= 0, (6 tan B+ p tan C— 2 tan 4A)

.. 8²„² — 2 sin A tan B. tan C. cot. sin(B—.C).(2922— e)= O.

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