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12. Es kann gefragt werden, unter welcher Bedingung die in 1. ermittelten Geraden 9 und g’ einen rechten Winkel einschliefsen; diese Frage soll nun beantwortet werden. Die durch die Gleichung

aνα‿ ‿‿ εν+‿ pc’+ 269f 2p+ 2 6 h= 0 gegebenen Geraden sind senkrecht zu einander, wenn die Bedingung erfüllt ist a*αη£fñ b b † c— 2 he. cos A4— 2 gca cos B— 2hab- cos C= O. Stellt man diese Bedingung für die Gleichung der Geraden g und g“

4— 1 4— 1 Xe. I DGr 12 o 4.e— TL=men be. cos 4 60.

Wenn man auf der linken Seite 252 cos A durch b2+ ¶— as ersetzt und dann den Koöfficienten von a* bestimmt, so findet man als solchen den Ausdruck 2(Q— r)(r+rp+ po): pgrp. Die Geraden g und g’ sind demnach senkrecht zu einander und bestimmen nach 5. die Achsen des Kegelschnittes s, wenn die Koordinaten des Punktes P die Gleichung erfüllen

te e-o

d. h. wenn der Punkt P auf der Kuryve liegt

auf, so erhält man

6—— g a² 0.

Diese Gleichung kann auch in der Form Na(6²— p„²) bc. cos 4= O geschrieben werden, stellt also eine Kurve dritter Ordnung dar; sie enthält die Eckpunkte des Dreiecks, den Schwerpunkt, den Höhenschnittpunkt und den Seitengegenpunkt des letzteren, überhaupt zu jedem ihrer Punkte auch den Seitengegenpunkt, was sich daraus ergiebt, dafs man die Gröfsen α, 6, durch ihre reciproken Werte ersetzen kann.

13. Die im vorangehenden für einen beliebigen Punkt P gefundenen Resultate sollen nun für besondere Lagen desselben angegeben werden. Es falle zunächst P mit dem Höhen- schnittpunkt H’ zusammen. Dann ist

p: T:T= tan A: tan B: tan C. Die Bedingungsgleichung für k lautet

12—+ 2 ⸗cos 4 cos B. cos C= 0 und liefert

2 ½= 1+ V 1— 8. cos A. cos B. cos C. Die Gerade g wird durch die Gleichung Na: sin A(cos B. cos C— k. cos 4)= 0 bestimmt, die nach einigen Umformungen auch geschrieben werden kann Da. cot 4. sin(B— C)(cos B. cos C— K. cos 4)= 0. Der Schnittpunkt der Geraden g und g“ hat das Koordinatenverhältnis sin A²: sin Be: sin C, ist also der Grebesche Punkt des Dreiecks 4 C; er ist der Mittelpunkt des Kegelschnitts Na*. cot 4A2— 2 ßSy cot B. cos C= O0,

Progr. Nr. 638. 2