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Diese drei Punkte liegen auf der Geraden Na:(p— kKp)= 0, der Kollineationsachse der Dreiecke AB C und 4 B,". Wenn man in der Gleichung die Nenner wegschafft und nach Potenzen von k ordnet, so findet man
k². Dag'r— K.«(dr'+ 7) † Nagr= O. Die Enveloppe der Kollineationsachse hat demnach die Gleichung [Æa(dr+‿ 21— 4 Nad'r Nadr=; sie berührt die Harmonikale des Punktes P, Nagr= O0, und Naxr= 0, die Harmonikale
des Punktes p“: Q: /, der die Strecke E nach dem Verhältnis— 1: 3 teilt.(E ist der Schwer-
punkt des Dreiecks A BC.) Wenn die gefundene Gleichung entwickelt wird, so ergiebt sich Aν—)— 2 26 CO y b O 9=o.
Die Enveloppe ist ein Kegelschnitt, der die Seiten des Dreiecks 4 B G berührt, und zwar eine
Parabel, denn die in 7. angegebene Funktion S ist Null.
Die für die Kollineationsachse gefundene Gleichung ist identisch mit der in 2. auf- gestellten Gleichung der Geraden g, wobei aber zu berücksichtigen ist, daſs dort k an eine Be- dingung gebunden ist, während hier k alle Werte annehmen kann. Es geht daraus hervor, dafs die beiden Geraden g und g auch Tangenten der aufgestellten Parabel sind.
11. Wenn man die in 8. angegebenen Resultate benutzt, so findet man für die Parabel
Naν(⁷⁴b‿— †)*— 2 Sy(r— p)(p- D9=0
als Leitlinie die Gerade Na(7)— r) 2 be s4= 0 oder Da(7— 1) cot 4= 0.
Wie sich aus dieser Gleichung unmittelbar ergiebt, geht die Leitlinie durch den Höhenschnitt- punkt tan A: tan B: tan C, aufserdem aber durch die Punkte p. tan A:. tan B: T. tan C, (¶ᷣ+. r) tan A:(r+ p)-tan B:(p+) tan Cund p(¶ C T†) tan A: Qꝗ(r+. p) tan B: T*(„+ 4) tan C. Der Brennpunkt der Parabel kann als Pol der Leitlinie ermittelt werden. Man hat zu diesem Zweck die Gleichungen aufzulösen (¶ù=P T)— 6(»— p)—„fy—)= k. cot A, — aæd O r B(»r— p)— pä— D)='’. cot B, — αM— T)— 8(»— p)+p(p—)= k“ cot O, in denen k' eine Konstante ist, und findet a² 5² 0² dtH:y=2A,=, ⸗ einen Punkt, der auf dem umgeschriebenen Kreis NByaν= O liegt. Hätte man die Untersuchungen dieses Abschnitts für den dem Dreieck 43C ein- geschriebenen allgemeinen Kegelschnitt aA‿ε²+‿ο4¶ẽm5τS τν+ p2— 26pmn— 2panl— 26lm= 0 geführt, so hätte sich als Leitlinie die Gerade Næl cot 4= O und als Brennpunkt der Punkt aemn: ben!: lm ergeben. Die Gerade geht durch den Höhenschnittpunkt und der Punkt liegt auf dem umgeschriebenen Kreis, wenn+˖ †n= 0, d. h. wenn der gegebene Kegelschnitt eine Parabel ist. Man hat damit den von Steiner zuerst aufgestellten Satz bewiesen: Die Leit- linie einer Parabel, welche die Seiten des Dreiecks 4 C berührt, geht durch den Höhenschnitt- punkt; ihr Brennpunkt liegt auf dem umgeschriebenen Kreis.