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Hieraus ergiebt sich unmittelbar, daſs die Geraden B(a= 0) und P, P.(6 p+† ppã— α.—= 0) Tangenten des gefundenen Kegelschnitts sind. Wenn man die Gleichung entwickelt, so erhält man

4aνdra'r+ ger ²e † peg † 26pp'ger— 4p apgg'r— 4 6 p9'r= O. Dafür kann man auch schreiben Pr(6r— p)— 49,r(d— p)(p—*)= 0, woraus hervorgeht, daſs auch die Ecktransversalen BP und CP(pp— ar= 0, α⸗— p= 0)

Tangenten des Kegelschnitts sind. 7. Um die Gattung des Kegelschnitts zu ermitteln, untersucht man die Funktion

S= 4A+ B+C+ 2+ 26+ 2 H. Für die vorher angegebenen Werte der Koëfficienten wird

4= 0, B=— 4p ,A,er(äßÖS r) E+L, GC= 4perç'r? KO) G, F=SO, G= 25 G'r2 CäTS G r), HI=— 25 2„ KäSn+. Wenn man diese Werte benutzt, so wird 8= 0, also ist der gefundene Kegelschnitt eine Parabel. — Vergl. Koehler, exercices de géométrie analytique et de géométrie supérieure, I: 153, wo indessen abgesehen von der anderen Bezeichnungsweise die Resultate für trimetrische Koordinaten

(die von einem Punkte auf die Seiten des Dreiecks 4C gefällten Lote) angegeben sind. Die Geraden C'4“ und 4' umhüllen, wenn k von 0 bis o0 wäüchst, ebenfalls zwei Parabeln, die durch die Gleichungen bestimmt sind aieν£‿ 46Tpr p+‿„p 342— 46ppAr p, † 2p αeε† ν— 4 6gITr p.= 0, aν‿ε½+‿ 272p 4„ pgp',— 46„rpp&— 4p Dr&+ 267 9= O. 8. Die Leitlinie einer Parabel ist durch die Gleichung gegeben a(+ 50+ 2 be. cos 4)= 0;

für die in 6. ermittelte Parabel gelten die oben angegebenen Werte von 4, B, C u. s. w. Wenn man den allen Gröfsen gemeinsamen Faktor 2 p?g'r'(1— r)(b+ 4+ 1) weglälst, so findet man als Gleichung die Leitlinie

ar(qg“— berr“)—(arr“+ capr'. cos B)+ y(agg+ abpa“ cos C)= O. Der Brennpunkt läſst sich als Pol der Leitlinie in jedem besonderen Fall leicht ermitteln.

9. Die nächste Aufgabe soll sein, die Gleichung der Tangenten zu finden, die man von dem in 2. bestimmten Punkte pp“: q': /ĩ an die erste der drei Parabeln ziehen kann. Ist f(, 6,)= O die Gleichung eines Kegelschnittes, so wird das von dem Punkte] 6“ aus an die Kurve gezogene Tangentenpaar durch die Gleichung

(æανρ+† B̃+„)“— 4(«, 8, p)-f(K, 6,)= 0 bestimmt, in der mit fα, †, † in bekannter Weise die Ableitungen von; nach a, 6, bezeichnet

werden. Berechnet man zunächst f(α⁶„)), so findet man dafür nach einigen Umformungen den Ausdruck Dip g'r'(P'g'r— Spgr). Für die in 6. gefundene Parabel ist Pa= 49'r'(Lagr— Srp—„pd), Ps= 2r p(— 2ag'r+;r p+ pp), Pr= 2 pg(— 2agr+† 6% † pp).