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Wenn man die für k aufgestellte Bedingungsgleichung berücksichtigt, so kann ene= t. p G— XgD G— kr) P— p, gesetzt werden; man findet daher als Gleichung von 9 a.‿:(p— kp)= O, wo für k einer der Werte k und ka zu nehmen ist. Man kann aber hierbei —1—,=— 4hu p— kp(P— kip)(P— k. p) setzen und hat jetzt den Nenner zu bestimmen; man findet dafür

7 72 7 2 6 1 P*—(h k) pp+ klp= P— pp Lk

und hieraus nach verschiedenen Umformungen— pp(r— p)(p— Q)(+ 2+† 1):p”2'r.. Die Gleichung der einen Geraden kann daher geschrieben werden

——.„hrT= kp) 4 Xe—— 0 oder auch DXn pp 0,

wo wiederum K einen der vorher bestimmten Werte bezeichnet. Schreibt man diese Gleichung

in der Form — 5. Da. L=o, L L

so ersieht man daraus, dafs die beiden Geraden dem Büschel

Dao()y— 1): p’'= O, NXa(1— 1):pb= ꝰO angehören. Sein Scheitelpunkt K hat die Koordinaten pp“: q.“: /Tr“ und ist der Mittelpunkt des Kegelschnitts, der die Seiten des Dreiecks 4 BC in den Punkten Pa, P,, P. berührt; die Geraden g und g selbst enthalten konjugierte Durchmesser dieses Kegelschnittes, wie im folgenden nachgewiesen werden soll.

3. Die Gleichung eines Kegelschnittes, der die Seiten des Dreiecks 43C berührt, hat die Form .³⁷ ‿+2ς¶mS◻+„?n2— 26pymn— 2pan!— 2 lm= 0. Die Berührungspunkte liegen auf den Ecktransversalen Bm—„n= O, /n— αl= O, al— m= 0,

die sich in dem Punkte mn: nl: lm schneiden. An Stelle dieses Punktes tritt in unserem Fall der Punkt P mit den Koordinaten pqlr; es sind daher in der Gleichung des Kegel- schnitts die Grössen!, m, n durch die reciproken Werte von p, g, r zu ersetzen, so dals sie nun heilst.

a 6* 7„ 2y 2„α 2 G

1r+ 2, 5. Wenn man die Nenner wegschafft, so findet man

aνρτ σ‿'νsꝗ p2pegs— 26ppegr— 2p αντ— 2 67 9= 0. Als Mittelpunkt dieses Kegelschnitts, der in der Folge mit e bezeichnet werden soll, ergiebt

sich auf einfache Weise der Punkt pp'“: qq“: /Tĩ, der als Schnittpunkt der zwei Geraden g und 9' gefunden wurde.