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der Zeichen und ihrer Verbindungen feſtzuhalten. Zu dieſem Ende rechnen wir nur mit kleinen, höchſtens dreiziffrigen Zahlen und löſen nur Aufgaben, in welchen alle Beziehungen von den Kindern noch leicht durchſchaut werden können. Mit dieſer Einſchränkung ſind wir aber keineswegs in der Mannigfaltigkeit der Uebungen ſo beſchränkt, daß nicht mindeſtens ein Jahr mit täglich einer halben Lehrſtunde denſelben eingeräumt werden dürfte. Ja, es dürften ſich die Lehrer, welche den Rechenunterricht an den untern Klaſſen höherer Lehranſtalten zu ertheilen haben, glücklich ſchätzen, wenn ſie bei den in die Sexta Aufzunehmenden ſtatt der gefor⸗ derten Fertigkeit in der Ausführung der vier Species nur eine derartige Vorbereitung vorfänden, wie ſie durch dieſe beiden erſten Kurſe erworben werden kann. Die Schüler brächten dann wirklich Kenntniſſe mit und an Fertigkeit doch nicht weniger, wenn auch von anderer Art; was aber die Hauptſache iſt, während jene Ziffernmacher nur mit der größten Mühe wieder dahin zu bringen ſind, beim Rechnen mit dem Denkvermögen ſtatt mit der Nach⸗ ahmungsgabe thätig zu ſein, werden dieſe Schüler dem Lehrer mit dem Streben entgegen kommen, alles, was ſie im Rechnen zu treiben haben, geiſtig zu durchdringen und ſic zur klaren Anſchauung zu bringen.

Auf dieſe beiden Vorbereitungskurſe laſſen wir zur vollſtän⸗ digen Durchführung eines Rechenunterrichts, wie er für die gewöhnlichen drei untern Klaſſen höherer Lehranſtalten paßt, noch drei je einjährige Lehrgänge folgen. Die nachfolgende theilweiſe ſehr gedrängte Darſtellung derſelben ſucht zwar alles Weſentliche zu berühren, jedoch nur in ungleichmäßigem Verhältniſſe, da ſie kein Lehrbuch, ſondern nur ein Wegweiſer für den Lehrer ſein ſoll und zwar hauptſächlich in Rückſicht auf diejenigen Lehren, welche die methodiſch ſchwierigern ſind oder in deren Behandlung man häufig nicht hinlänglich gründlich verfährt. Dabei hat der Verf. die Anſorderungen der Volksſchule wie die der höhern Lehran⸗ ſtalten im Auge gehabt, welche ohnedies in dieſem Lehrgegenſtande im Weſentlichen übereinſtimmen, nur daß in manchen Lehren eine größere Ausführlichkeit und Gründlichkeit auf den letztern veplangt