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nöthige Kraft und Ausdauer geſchöpft wird. Aber dies Gelingen beruht grade auf der Klarheit und Schärfe des innern Sinnes, für welche wenigſtens im Gebiete der Zahlenanſchauungen haupt⸗ ſächlich durch den Rechenunterricht der Grund gelegt werden kann. Beſchränkt man aber dieſen in den untern Klaſſen auf das Ein⸗ üben mechaniſcher Fertigkeiten, ſo entwickelt man nicht, man unter⸗ drückt vielmehr das Anſchauungsvermögen in dieſer Richtung.

Wie wenig übrigens im Allgemeinen der Rechenunterricht dem nachfolgenden mathematiſchen vorzuarbeiten pflegt, das erhellt ſchon aus den Lehrſtoffen, womit man noch häufig die mittlern Klaſſen beſchäftigt. Für Tertianer paſſen z. B. nicht mehr die Decimal⸗ brüche, noch viel weniger bildet das Wurzelausziehen für Sekun⸗ daner einen geeigneten Uebungsſtoff, und der Verfaſſer des verbrei⸗ tetſten, ſonſt ganz vortrefflichen Uebungsbuches für allgemeine Arithmetik und Algebra würde die 6—8 erſten Paragraphen des⸗ ſelben, deren vollſtändige Abhandlung vielleicht ſchon manchem Schüler von vornherein die Luſt an der Mathematik verleidet hat, wohl in einen einzigen zuſammengezogen haben, wenn er einen beſſern Rechenunterricht hätte vorausſetzen dürfen, als wie dieſer leider gewöhnlich noch ertheilt wird.

Die Ueberzeugung, daß der mathematiſche Unterricht durch die Art und Weiſe, wie der vorausgehende Rechenunterricht ertheilt wird, weſentlich gefördert oder gehemmt werden kann, veranlaßte den Verf. vor einer Reihe von Jahren zur Abfaſſung eines Leit⸗ fadens für dieſen Unterricht an den untern Klaſſen höherer Lehr⸗ anſtalten. Schon damals ſprach er in der Vorrede zu dieſem Werkchen die Anſicht aus, daß der Rechenunterricht an höhern Lehranſtalten Cſtatt der Fertigkeit in den vier Spezies in ganzen Zahlen, welche man gewöhnlich bei der Aufnahme verlangt) einen doppelten Anſchauungskurſus zur Vorausſetzung haben ſollte, von denen der erſte ohne allen Gebrauch der Ziffern, der zweite nur mit kleinen, höchſtens dreiziffrigen Zahlen durchgeführt werden müſſe, An dieſer Ueberzeugung hält er auch jetzt im Weſentlichen noch feſt und da ihm der Wunſch ausgeſprochen worden iſt, eine neue Auflage jeues Leitfadens zu veranſtalten, in welcher zugleich auf