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matiſchen Unterrichts. Wird dasſelbe in den untern Klaſſen der Gymnaſien, wo die Schüler ſich faſt ausſchließlich mit den Ele⸗ menten mehrerer fremden Sprachen beſchäftigen müſſen, nicht geweckt und gepflegt, ſo verkümmert es, wenigſtens im Kreiſe der Zahlen⸗ anſchauungen, in einer Weiſe, daß man dann in den obern Klaſſen ſtaunen muß über den Grad von Unfähigkeit, welchen manche ſonſt eben nicht beſchränkte Schüler für die Mathematik, die ſonſt jeden wohl befähigten und wohl geleiteten Schüler anziehen muß, an den Tag legt. Freilich, wenn das Ziel des mathematiſchen Unter⸗ richts nur im Erlernen von Lehrſätzen und ihren Beweiſen beſteht, dann reicht der dürrſte Verſtand dafür aus. Aber von der Mathe⸗ matik gilt ebenſo gut und vielleicht noch mehr als von andern Fächern, daß zum Wiſſen auch das Können hinzukommen muß. Iſt es ſchon der Mühe werth für den, der ſich den Wiſſenſchaften widmen will, an der Beſchäftigung mit der Mathematik ſich ein Muſterbild für wiſſenfchaftliche Darſtellung und Begründung ein⸗ zuprägen, oder für den, der ſich einem praktiſchen Berufe zuwenden will, aus der Mathematik die wichtigſten Vorſchriften und Hilfs⸗ mittel für denſelben ſich anzueignen, ſo iſt es doch noch ein viel größerer Gewinn, an ihr ſich die Selbſtſtändigkeit und Selbſt⸗ thätigkeit im Denken zu erringen, wozu grade ſie die Mittel und Wege darbietet. Nur die Mathematik kann ſo gelehrt werden, daß der Schüler alle Wahrheiten als Produkte ſeiner eignen Denk⸗ thätigkeit auffindet und erkenntz an der Beſchäftigung mit derſelben kann er am ſicherſten und ohne alle Gefahr für krankhafte Früh⸗ reife das Verknüpfen ſchon bewußter Wahrheiten zur Entdeckung neuer üben, die er ſogleich auf die Probe ſtellen kann, um jeden Trugſchluß leicht zu entdecken; nur dadurch, daß der Schüler ſich mit der Löſung mathematiſcher Probleme ſelöſtthätig und ſelbſt⸗ ſtändig beſchäſtigt, eignet er ſich an ihr eine geiſtige Ausdauer und Vertiefung an, die eine Hauptbedingung für das gründliche Studium der Wiſſenſchaften iſt. Erſt aus dem Gelingen ſolcher ſelbſtſtändiger Kombinationen, wie ſie der Löſung mathematiſcher Aufgaben zu Grunde liegen, entſpringt auch die Freude an der Beſchäftigung mit der Mathematik, aus welcher wieder die dazu