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Lehranſtalten bedenken, denen meiſt der Rechenunterricht in den untern Klaſſen anvertraut iſt. Die größere Lebendigkeit und Energie, welche ein Vorzug junger Lehrkräfte iſt, kommt ihnen namentlich auch bei dieſem Gegenſtande ſehr zu ſtatten; aber weil ihr Intereſſe noch mehr auf eine wiſſenſchaftliche Beſchäftigung mit der Mathematik gerichtet iſt, halten ſie wohl das gemeine Rechnen für einen zu unwichtigen Gegenſtand, um ſich mit der Methode deſſelben hinlänglich vertraut zu machen. Wenn ſie aber auch eine rege Theilnahme für die Sache und der beſte Wille beſeelt, ſo finden ſie doch an dem Material, welches ihnen in der Regel in die Hände geliefert wird, faſt unüberwindliche Schwierigkeiten. Die Freude des Lehrers am Unterrichte entſpringt hauptſächlich aus den Fortſchritten der Schüler; mit Schülern, welche aber für geiſtige Thätigkeit in dieſem Gegenſtande abgeſtumpft ſind, kann der Fortſchritt auf dem Wege der verſtandesmäßigen Entwicklung anfangs nur kaum merklich ſtattfinden; er wird aber gar nicht möglich, wenn der Lehrer aus Unkenntniß einer guten Methode dabei nicht anſchaulich und elementar, ſondern abſtrakt und wiſſen⸗ ſchaftlich zuwege gehen will. Der gute Wille des Lehrers wird an der vergeblichen Arbeit bald erlahmen und er wird ſich am Ende auch mit der Anſicht befreunden, daß das bloße Abrichten im Rechnen in den untern Klaſſen höherer Lehranſtalten um ſo weniger nachtheilig ſei, als ja der nachfolgende mathematiſche Unter⸗ richt die fehlende Begründung doch viel vollſtändiger zu geben ver⸗ möge.— Aber hierin liegt eine zweifache Täuſchung. Die mathe⸗ matiſchen Beweiſe ſind weſentlich verſchieden von der Art der Begründung, wie ſie ein methodiſch richtig ertheilter Rechen⸗ unterricht geben ſoll; die erſtern ſind abſtrakte Folgerungen aus Axiomen, Deſinitionen und Lehrſätzen, und das Bilden einer Kette von Schlüſſen iſt dabei die wichtigſte Uebung. Der Rechenunter⸗ richt ſoll dagegen ſeine Lehren möglichſt unmittelbar aus der An⸗ ſchauung der gegebenen Verhältniſſe entwickerln. Das Anſchauungs⸗ vermögen muß aber ſchon aus pſychologiſchen Gründen früher geübt werden, als das Schlußvermögen: außerdem bildet ſeine Entwicklung eine Grundbedingung für das Gedeihen des mathe⸗