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methiſchen Operationen rechtfertigen zu können. Dieſe Anſicht halte ich aber, ſowohl was den praktiſchen Nutzen als was das bildende Element im Rechnen betrifft, nicht für begründet. Was nämlich den erſten Punkt betrifft, ſo lernen allerdings die Schüler dadurch hierher gehörige Verhältniſſe des praktiſchen Lebens beur⸗ theilen, aber dieſe Befähigung, welche ſie ſich auf der Schule nur mit Mühe und großem Zeitaufwand erwerben können, kommt ihnen ſpäter im Leben von ſelbſt; was ihnen aber nicht von ſelbſt kommt, iſt die Einſicht in das rein Arithmetiſche dieſer Aufgaben. Müh⸗ ſelig ſieht man oft Schüler der höhern Klaſſen und geübte Ge⸗ ſchäftsleute mit den Zahlen ſich abquälen, die ſie eben nicht prak⸗ tiſch zu behandeln verſtehen, weil ſie auf der Schule nicht die nöthige Einſicht in die Eigenſchaften derſelben und in die Be⸗ ziehungen der grithmetiſchen Operationen zu einander gewonnen haben.— Was dann den zweiten Punkt, die Förderung der geiſtigen Bildung durch das Rechnen betrifft, ſo wird durch die vorausgehende mechaniſche Dreſſur im Rechnen den Schülern die Gedankenloſigkeit bei dieſem Geſchäfte ſo ſehr zur andern Natur, daß ſie ſpäter durch das ſog. Denkrechnen nicht wieder auszu⸗ treiben iſt. So, wie das Rechnen häufig getrieben wird, erfordert das Erlernen des geringſten Handwerks mehr geiſtige Aufmerkſam⸗ keit; denn die Schüler thun dabei kaum etwas anders, als daß ſie Ziffern machen und ordnen mit Hilfe des Gedächtniſſes und des äußern Sinnes, ohne Bewußtſein des innern Zuſammenhangs der angewandten Mittel mit dem zu erreichenden Zwecke. Aus dieſer geiſtloſen Beſchäftigung erklärt ſich denn auch die bekannte Erfahrung, daß oft die beſchränkteſten Köpfe die ſicherſten Arbeiter auf dieſem Felde ſind Will man dieſelben aber einen andern Weg führen, als für den ſie eingeſchult ſind, ſo zeigen ſie ſich gänzlich ungelenk, oder will man ihnen die Gründe über ihr Thun⸗ klar machen, ſo begreifen ſie gar nicht, was man ſie noch über Dinge lehren will, die ſie längſt machen können. Thätige Auf⸗ merkſamkeit, geiſtiges Leben iſt in eine Klaſſe, in welcher ſo dreſſirte Schüler überwiegen, kaum wieder hineinzubringen. Dies mögen insbeſondere die jüngern Lehrer der Mathematik an höhern