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weniger als A empfangen. Dies führt aber direkt zur einfachen Ausführung der Diviſion 30:1 ½¼. Noch klarer aber wird der Schüler ſich des Grundes, von dem er beim Anſatze der Propor⸗ tion höchſtens eine dunkle Ahnung hat, bewußt, wenn er ſchließt: weil B in 15 Tagen ſo viel verdient, als A in 12, ſo verdient er in 1 Tage nur 17⁄1= ⅓, alſo auch in einem Monate ⅛ vom Lohne des A.— Man gebe nur einem auf die Proportionen gut dreſſirten Schüler folgende Aufgabe: 11 ⅝ Pf. einer Waare koſten ebenſo viel, als 10% Pf. einer andern. Nun kauft man das Kilogr. der letztern für 4 Fr. 75 Cent., wie theuer iſt ein Kilogr. der erſtern?— Man wird ſehen, wie er hierbei im Dunkeln tappt, während ein an ein wirkliches Denkrechnen gewöhn⸗ ter einfach ſchließen wird: Weil 11 Pf. der erſtern Waare ebenſo viel koſten, wie 10 ⅜ Pf. der letztern, ſo koſtet 1 Pf. 11 mal weniger, alſo nur ſo viel, als 10: 11 ⅞= 1 ½16 Pf. der zweiten, ſo hat auch ein Kilogr. der erſtern nur den Werth von ¹⁄13 Kilogr. der letztern. Uebrigens iſt dies Beiſpiel, welches⸗ ich einer bekannten Aufgabenſammlung entnommen habe, recht gut gewählt, um die Schüler der mittlern Klaſſen höherer Lehranſtalten in der Begründung der Proportionen, von denen ſie in der Geo⸗ metrie, Phyſik und Chemie eine nützlichere Anwendung machen können, zu üben.(Dieſe Begründung würde hier ſein: Weil man von der erſten Waare ¾ mal mehr Pf. für dasſelbe Geld erhält, ſo iſt ſie ¾ mal billiger als die andere.)— In den untern Klaſſen bereitet man aber auf dieſe Uebungen am beſten vor, indem man die Aufgaben in obiger Weiſe. durch einfache Schlüſſe löſen läßt, ohne dabei von dem Arpatate der Proportionen ſelbſt Ge⸗ brauch zu machen.

Das angewandte Rechnen wird indeß in den meiſten Lehr⸗ büchern mit weit mehr Sorgfalt und Geſchick behandelt, als die reine Zahlenlehre; dies geſchieht nicht bloß aus Rückſicht auf die Zwecke des praktiſchen Lebens, ſondern man hält erſt dieſen Stoff für geeignet, um die Denkkraft der Schüler daran zu üben. Man nennt daher auch zwohl dieſe Nebungen erſt das Denkrechnen und glaubt damit das Abrichten im Vollziehen der eigentlichen arith⸗

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