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gewinnen, von denen man dann freilich nicht begreift, wozu ſie den Schülern nützen ſollen, die, wenn ſie die Multiplikation und Diviſion mit ganzen Zahlen gründlicher zu verſtehen und anzuwenden gelernt hätten, dieſer Kunſtſtücke für den praktiſchen Gebrauch gar nicht bedürften. Dieſe flüchtige Behandlung der Mutltiplikation und Diviſion der Brüche findet man ſelbſt da, wo man glaubt die Proportionen für die Auflöſung der ſog. Regeldetriaufgaben beibehalten zu müſſen. Freilich nimmt man es hierbei mit der Begründung der Proportionen nicht genau; würde man dies thun, ſo würde man ſich auch bald überzeugen, daß die Proportionen nicht ein Hilfsmittel, ſondern ein Hinderniß für klares Auffaſſen und gewandtes Behandeln der Rechenaufgaben ſind. So müßten doch z. B. bei der Aufgabe: Wie viel betragen die Zinſen von 75 Thlr. zu 5 Proc⸗?— die Schüler zur Begründung der ent⸗ ſprechenden Proportion 100:75= 5:X folgern: weil 75 ¾ von 100 beträgt, ſo iſt auch Xx= 31. 5. Sind ſie ſich aber deſſen bewußt geworden, ſo werden ſie nicht mehr, um xX zu berechnen, von obiger Proportion Gebrauch machen. Oder nehmen wir einen ſchwierigern Fall: Von zwei Arbeitern verdient der erſte(A) in 12 Tagen ſo viel, als der andere(B) in 15. Nun betrug der monatliche Lohn des A 30 fl., wie viel verdiente B in dieſer Zeit?— Die Proportion heißt hier 15:12= 30: xX. Davon wird man aber in einem Unterrichte, der bilden und nicht abrichten ſoll, eine Begründung fordern. Den Schluß: je mehr B arbeiten muß, um ebenſo viel als A zu verdienen, deſto weniger verdient er in derſelben Zeit, wird man doch wohl nicht für eine Begrün⸗ dung gelten laſſen, denn ſonſt wäre auch dieſer Schluß richtig: je höher die Temperaturen ſind, deſto größer ſind auch die Spann⸗ kräfte der Dämpfe, alſo ſind die Temperaturen und die entſprechen⸗ den Spannkräfte einander proportionirt. Mit ſolchen Oberfläch⸗ lichkeiten bildet man nicht den Verſtand, ſondern man verdirbt ihn, indem man an Flüchtigkeit und Unklarheit im Denken gewöhnt. Der Beweis der Richtigkeit obiger Proportion erſordert vielmehr den Schluß: weil B 191½ d. i. 1 ½ mal länger arbeiten muß, um dasſelbe zu verdienen, wird er für die nämliche Zeit 1 ½ mal