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Aufgabe 27. Zwei auseinanderliegende Kegelschnitte sind gegeben; man soll ihre imaginären Durchschnittspunkte bestimmen. ſ

Auflösung: Sind die beiden Kegelschnitte die in Figur 43 gezeichneten Ellipsen und ist O ein Durchschnittspunkt von zwei nach Kap. IV,§ 9, Aufgabe III konstruierten gemeinschaftlichen Tangenten, dann können wir jeden Kegelschnitt als ein Bild des anderen betrachten für den Punkt O als Strahlpunkt und eine noch festzulegende Grade als Bildaxe. Um diese zu finden, ziehen wir drei beliebige Sekanten OA, OB, 0C, die auf jedem der beiden Kegelschnitte je drei Paare von Punkten, nämlich A A1, BB., CC, AA., BB, CCund dadurch wieder zwei Gruppen von perspektivischen Dreiecken: ABC, AiB 1C, ABC, Ar B C etc. bestimmen. Die entsprechenden Seiten je zweier dieser Dreiecke schneiden sich nach Kap. IV,§ 1, Satz I auf einer Graden. Diese Graden sind die zwei Polaren der beiden Kurven, denen O als Pol zugehört(Kap. IV,§ 5, Satz IV und V), und die beiden Bildaxen L und Li Nimmt man Dreieck ABC als Vorlage und Ar B Cr als Bild, dann erhält man als Bildaxe die Grade L. Man erhält z. B. zwei Punkte von Li, wenn man die Graden BA und B A, BA und BrA bis zu ihrem Schnitt verlängert; und man bekommt zwei Punkte von Li, wenn man in derselben Weise mit BA und B A, CB und CB verfährt. Bestimmt man zu irgend einem Punkte der Graden L, etwa zum Punkte a, die Polaren in beiden Ellipsen, dann sind sie ent- sprechende Grade in der Vorlage und im Bild und müssen sich wiederum auf L schneiden. Die Punkte α, β und die Schnittpunkte und„ ihrer Dolaren sind aber zugehörige Punkte einer Involution nach Kap. IV,§ 9, Satz VIII( und α können mit K und K) in Figur 41 verglichen werden). Die beiden Graden L und Li sind demnach die Träger von involutorischen Punktreihen, die elliptisch werden und den beiden Kegelschnitten zugleich angehören. Die imaginären Doppelpunkte dieser elliptischen Punktreihen sind als die Schnittpunkte der beiden Kegelschnitte anzusehen. In der Figur sind sie durch Ji, Ja, Js angegeben. J. ist, um Raum zu sparen, in der Figur nicht angegeben. Ihre Konstruktion mit Hilfe der Punktreihen αα ⁶ν..ꝗ und aAarbbi.... ist aus der Zeich- nung ersichtlich.

Sohlufs.

Die Rechnungen in Kapitel IV und die Konstruktionen in Kapitel V haben uns gezeigt, daſs man die sogenannten imaginären Werte nicht als unmögliche, mit denen nichts anzufangen ist, zu betrachten hat, daſs man dieselben vielmehr ebenso gut wie die reellen zur praktischen Rechnung und zur Konstruktion ebener Figuren benutzen kann und daſs die mathematische Zeichen- und Wortsprache erst durch die vierte Erweiterung des Zahlengebietes eine umfassende und einfache geworden ist, sodafs man z. B. sagen kann:

Im das Symbol a giebt bestimmt und ohne Einschränkung den Wert und die Zahl der Wurzeln von a an; eine Grade schneidet einen Kegelschnitt in zwei Punkten; zwei Kegelschnitte schneiden sich in vier Punkten; von einem Punkte, mag er aufserhalb, innerhalb oder auf dem Kegelschnitt liegen, kann man zwei Tangenten an denselben ziehen; u. s. w.