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Wir haben gesehen, daſs das Imaginäre dann entsteht, wenn sich zwei algebraische Operationen in unvollziehbarer Weise vereinigen, und daſs dasselbe anzeigt, daſs die absolute Grölſse, um die es sich handelt, zwar nicht auf dem eingeschlagenen Wege, wohl aber auf einem anderen zu finden ist, daſs z. B. die Gleichung ei“= cos.+† i sin. bedeutet: Eine Exponentialfunktion mit der Basis des natürlichen Logarithmensystems kann die cyclometrischen Funktionen sinus und cosinus nicht in reeller Weise als Summe oder Differenz angeben, wohl aber die entsprechenden hyperbolischen Funktionen, auf die man durch Vermittelung des Imaginären gelangt, wenn man vom Kreise zur gleichseitigen Hyperbel übergeht.

Wir haben erkannt, daſs, wenn man aus der Verbindung der Gleichungen einer Graden und eines Kegelschnittes Wurzeln von imaginärer Form erhält, wirkliche reelle Durchschnittspunkte nicht vorhanden sind, daſs es aber Punkte giebt, die als solche betrachtet werden können und die sich mittelst einer auf der Graden darstellbaren elliptischen involutorischen Punktreihe angeben lassen.

Wir haben endlich gefunden, dals 1— 1, als Operationszeichen betrachtet, die Drehung einer Graden um 90° bewirkt und daſs die complexe Zahl q+ qi sowohl einen Punkt der Ebene darstellt, dessen Coordinaten p und q sind, als eine Grade, deren absolute Länge p⸗ q?* ist, und dals es gleichgiltig ist, ob man eine Strecke 1= cos.+ i sin. α selbst um das mfache des Winkels dreht oder ihre Summanden cos. α und i sin.« einzeln. Setzt man fest, daſs in dem Symbol a(cos.«+ sin.) " nicht das algebraische J— 1 bedeutet, sondern irgend eine Strecke im Raum, deren Quadrat—— 1 ist, dann gehört dieses Symbol der fünften und neuesten Erweiterung des Zahlengebietes an, nämlich dem von Graſsmann und Hamilton entdeckten Gebiete der Quaternionen. Dasselbe faſst mehr in seine Zeichen als alle früheren üblichen Methoden zusammengenommen, und diese Zeichen unterscheiden sich von den früher gebräuchlichen auch noch dadurch, dals sie aufser den Gröſsenverhältnissen auch solche Eigenschaften angeben, welche sich auf Lage und Bewegung der Objekte beziehen. Dieser neueren Methode bedienen sich demnach vorzugsweise die Physiker, da durch dieselbe solche An- wendungen der Mathematik auf die praktische Physik erlaubt sind, die bisher auf groſse Schwierigkeiten stieſfsen. In dieser neuesten Rechnungsmethode wird]= als Strecke im Raume aufgefaſst, welche an keine bestimmte Richtung gebunden ist.

Unter besonderen Umständen wird die Strecke o, welche hier Vektor genannt wird, auf ein System von drei aufeinander senkrecht stehenden Einheitsstrecken bezogen und durch die Gleichung Ooü= xi+ yj+ zk angegeben. worin x, y, z drei gewöhnliche algebraische Gröſsen sind, während i, j, k den Wert] haben, aber so, daſs ij=— ji= k jk=— kj=i, ki=— ik= j. wobei also das kommutative Prinzip nicht mehr giltig ist. Der Quotient zweier Vektoren verlangt zu seiner Bestimmung auſser den Vektoren i, j und k noch vier gewöhnliche algebraische Gröſsen; deshalb ist die ganze Rechnungs- weise von Hamilton als Methode der Quaternionen bezeichnet worden.

Ich habe in der vorliegenden Abhandlung in bescheidener Weise von dieser Methode, soweit dieselbe in einer Ebene in Betracht kommen kann, Anwendung gemacht, als ich mich der Richtungszahlen bediente.

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