57

entsprechende Punkte X und XI der Involution und verfährt mit denselben wie oben mit K und Ki, dann erhält man ein neues umbeschriebenes Vierseit, dessen Seiten den Kegel- schnitt einhüllen.

In der Figur 41 stellt der Kreis die gesuchte Kurve dar.

Aufgabe 26. Zwei Kegelschnitte sollen gezeichnet werden, die zwei gegebene imaginäre Tangenten in zwei gegebenen imaginären Punkten berühren und von denen der eine durch einen gegebenen reellen Punkt geht, während der andere eine gegebene reelle Grade berührt.

Auflösung(Fig. 42): P(AAIBBi) seien die gegebenen imaginären Tangenten mit den imaginären Punkten der Punktreihe AABB. Der gegebene Punkt für den einen Kegelschnitt sei M und die Tangente an den anderen t. Wir zeichnen mit beliebigem Radius einen Kreis O, der die beiden imaginären Tangenten berührt, dessen Mittelpunkt also auf der Normallinie PZ liegt.(In der gezeichneten Figur liegt nur zufällig O auf M Na.) Derselbe ist die Vorlage für die beiden zu zeichnenden Kegelschnitte und zwar für P als Strahlpunkt.

Konstruieren wir die Polare des Kreises zu dem Punkte P, nämlich prpr, dann entspricht diese der Polaren pp der gesuchten Kegelschnitte. Den ersten Kegelschnitt zeichnen wir als Bild des Kreises für den Strahlpunkt P und eine noch zu bestimmende Bildaxe. Der Durchschnittspunkt T von pp und prpi ist der erste bekannte Punkt der Bildaxe. Um noch einen zweiten zu finden, verbinden wir M mit D, wodurch wir zunächst die Punkte M und M auf dem Kreise erhalten. Der Punkt M ist hier als der dem Punkte M entsprechende angenommen. Die Grade MI] liefert auch den Punkt Q auf der Polaren des Kegelschnittes, der wiederum mit M und P den Punkt Mi als vierten harmonischen Punkt bezeichnet. Verbinden wir jetzt T mit M und Mi, dann erhalten wir die neuen Kreispunkte N und Ni. TXM entspricht T M, daher liegt der dem Kreis- punkte N entsprechende Kurvenpunkt N auf PN; ebenso liegt der Kurvenpunkt Ni auf TM und PN. Die Durchschnittspunkte U von MNi und MNi und Ui von MN und M N sind als Schnittpunkte zweier entsprechender Graden zwei neue Punkte der Bildaxe. Jeder derselben bestimmt mit T die Lage der Bildaxe für den durch M gehenden gesuchten Kegelschnitt. Nehmen wir auf derselben einen beliebigen Punkt X an und weefindeu ihn mit zwei entsprechenden bekannten Punkten der Kurve und des Kreises,

. B. mit N und Ni, dann liefert der Strahl PA einen neuen Punkt A des gesuchten Keelschnittes, der sich in der Zeichnung als Ellipse darstellt.

Ist S der Schnittpunkt der für den zweiten Kegelschnitt gegebenen Tangente t mit der Polaren pp derselben, dann entspricht ihm der Punkt S auf dem Strahl PS und der Polaren des Kreises pipi. Ziehen wir von diesem Punkte aus die Tangente SD an

den Kreis O, dann erhalten wir den Berührungspunkt D derselben mit dem Kreise und durch PD den Berührungspunkt D der Tangente t mit dem zweiten gesuchten Kegelschnitte.

Wir haben also auſser den beiden imaginären Tangenten und ihren Berührungspunkten noch einen reellen Punkt der zweiten Kurve und können demnach bei der Konstruktion derselben genau verfahren wie bei der Darstellung der ersten. Wir erhalten den Kegel- schnitt, welcher in der Figur durch die Punkte D und Da geht.