56

Aufgabe 23. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, von dem zwei reelle und zwei imaginäre Punkte und aufserdem eine reelle Tangente gegeben ist.

Auflösung(Fig. 39): Wir suchen den Berührungspunkt X der Tangente und zeichnen dann den Kegelschnitt nach Nr. 13.

Sind in Figur 39 P und P, die gegebenen reellen Punkte, Jur und Ja die imaginären und SN die Tangente, dann kann man auf das Dreieck SMN den Carnotschen Satz anwenden und erhält: M Ji-MJeSXIL-SXg·N Pi-NLe= S Ji.SJa-NXI-NXSMPiMP oder, da MJ= MJ, SJi= SJe und SX= SX, NX= NX(X r und X die zwei über- einanderliegenden Berührungspunkte X der Tangente) ist: MJl. SX. a¹*= S2. NXB. b', wenn man NPi-NPeæ= al und MPi-M P.= b(siehe Figur) setzt, mithin auch, wenn wir wieder nur das+ Zeichen der Wurzel berücksichtigen, MJi-SX-a= SJI-NX.-b oder für

7 2 MJ-a= ns und SJl-b= m⸗, 3—= P(Pigar 39 9)

Wir haben also die Grade SN nur im Verhältnis p: q zu teilen, um den gesuchten Punkt X zu erhalten. Als eine Auflösung der Aufgabe erhält man die in Figur 39 gezeichnete Ellipse.

Aufgabe 24. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, der zwei gegebene imaginäre Tangenten in zwei gegebenen imaginären Punkten berührt und durch einen gegebenen reellen Punkt geht.

Auflösung: In Figur 41 sei der reelle Punkt G, die imaginären Tangenten seien die Doppelstrahlen des Büschels O(KKILLi), und die imaginären Berührungspunkte seien die Doppelpunkte der elliptischen Punktreihe K KiLLi, dann ist O der D'ol des Trägers KLu derselben und umgekehrt KLu Polare zu O. Die grade Verbindungslinie O0G schneidet die Dolare im Punkte Ri und den Kegelschnitt im Punkte E, der als vierter harmonischer Punkt zu RrOG zu finden ist; denn im vollständigen Viereck teilen die Diagonalen einander harmonisch.(Uth, UÜbungssatz 236.)

Verbinden wir E und G mit zwei anderen zugeordneten Punkten K und K, dann erhalten wir ein dem Kegelschnitt eingeschriebenes Viereck EFGH, also zwei neue Punkte F und H der gesuchten Kurve.(Umkehrung von Satz V,§ 9, Kap. IV.) Zwei beliebige andere zusammengehörige Punkte X und XI liefern ein neues Viereck mit zwei neuen Kegelschnittspunkten. Man kann also auf diese Weise beliebig viele Punkte der gesuchten Kurve festlegen. In Figur 41 stellt der gezeichnete Kreis den gesuchten Kegelschnitt dar.

Aufgabe 25. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, von dem zwei imaginäre Tangenten durch den Büschel O(KKIRR)(Fig. 41) nebst den imaginären Berührungspunkten durch die Doppelpunkte der Reihe K K RRA und eine reelle Tangente t gegeben sind.

Auflösun g: Verlängern wir die beiden entsprechenden Graden KO und K rO bis zu dem Durchschnitt A und D mit der gegebenen Tangente, dann ist C vierter harmonischer Punkt zu K, O, A, also bekannt; denn die Diagonalen eines vollständigen Vierseits teilen sich gegenseitig harmonisch.(Uth, Übungssatz 236). Verbinden wir dann weiter D und L mit C, dann erhält man die Punkte R und B. Man hat auf diese Weise ein dem Kegel- schnitt umbeschriebenes Vierseit RAL CR dargestellt. Nimmt man zwei beliebige andere