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Aufgabe 20. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, wenn eine reelle Tangente t, zwei reelle Punkte A und B und zwei imaginäre Tangenten P(a ⁶) gegeben sind.

Auflösung: Wir zeichnen einen beliebigen Kreis und suchen die zu der gegebenen Tangente t, dem Strahlenbüschel P und den Punkten A und B gehörigen Pole und Polaren. Wir erhalten dann einen reellen Punkt, eine elliptische involutorische Punktreihe mit zwei imaginären Punkten und zwei reelle Tangenten als Bestimmungs- stücke für eine dem gesuchten Kegelschnitte reciprok polare Kurve. Diese können wir nach Aufgabe 19 zeichnen. Ziehen wir an diese fünf oder mehr Tangenten, dann liefern deren Pole in Bezug auf den Hilfskreis fünf oder mehr reelle Punkte, die dem gesuchten Kegelschnitt angehören.

Aufgabe 21. Man soll einen Kegelschnitt zeichnen, von dem eine reelle Tangente und zwei Paare imaginärer Punkte gegeben sind.

Analysis. In Figur 38 sei NZ die gegebene Tangente, die Grade I der Träger der Punktreihe AA BBi, welche die imaginären Punkte J; und J. bestimmen(J. ist nicht gezeichnet), die Grade II der Träger der Punktreihe A A B Br, welche Ji und J, bestimmen(Ja ist nicht gezeichnet), dann bilden die beiden reellen Verbindungslinien der imaginären Punktepaare, d. h. die Träger I und II mit der Tangente ein Dreieck MLN, auf welches sich der Satz von Carnot(Kap. IV,§ 9, Satz IV) anwenden läſst, und es findet zwischen den Eckpunkten und Schnittpunkten mit dem gesuchten Kegelschnitt die Beziehung statt:

MJ. M J.-NXB. LJl-LJe= NJa.NiLXI. MJ-MJ.

Da aber MJ.= MJ., LJ= LJe und NJ.= MJ ist, so vereinfacht sich die

Gleichung in die folgende: MJ*LJ2.NX“Ö= NJS. MJ:. LX

oder, wenn wir die Wurzel ausziehen und hier nur das+ Leichen berücksichtigen: M Ja LJiNXS= NJa MJi. LX.

Setzen wir: M Jz-LJr= a2(Fig. 38 9) und NJa-MJ.= b²(Fig. 38y), dann ist

a PX n 2 1 i mn NX=LX m

b2= NX oder m— X C 1g. 38 ⁰), daher ¹¹ ʒÿ NA und NX= m.n NL. Damit ist der Warh X bestimmt. X ist der Berührungspunkt der gegebenen

Tangente.

Wir haben also jetzt einen reellen Punkt und zwei Paare imaginärer Punkte der gesuchten Kurve und können diese nach Nr. 14 zeichnen. Diese Konstruktion ist in der Figur ausgeführt.

Aufgabe 22. Einen Kegelschnitt zu zeichnen, von dem ein reeller Punkt und zwei Paare imaginärer Tangenten gegeben sind.

Auflösung: Man zeichnet einen Hilfskreis, sucht die Polare des gegebenen Punktes und die Pole der Strahlen der beiden gegebenen Büschel; dann erhält man eine reelle Tangente und zwei Paare imaginärer Punkte.(Kap. IV,§ 7, Satz III.) Der reciprok polare Kegelschnitt kann also nach Nr. 21 und darauf der gesuchte Kegelschnitt nach Kap. IV,§ 9, Aufgabe I oder II, gezeichnet werden.